向量代数是物理学和数学的一个组成部分。它简化了计算，有助于分析各种各样的空间概念。矢量是一个物理量，它既有大小也有方向。它的对应物是一个只有大小而没有方向的标量。

向量可以通过两个基本操作来操作。这些运算是点积和叉积，它们有很大的区别。

点积(dot product) vs. 交叉积(cross product)

两个向量的点积和叉积的区别在于点积的结果是一个标量，而叉积的结果是一个向量。

两个向量的点积也称为标量积。它是两个向量的大小和它们相互形成的角度的余弦的乘积。

两个向量的叉积也称为向量积。它是两个向量的大小和它们相互形成的角度的正弦的乘积。

点积与叉积比较表（表格形式）

什么是点积(dot product)？

两个向量的点积或标量积是它们的大小与一个向量对另一个向量的夹角的余弦的乘积。它也被称为内积或投影积。

具体表现为：

A·Β=| A | | B | cosθ

结果是一个标量，所以它只有大小，没有方向。

我们用角的余弦来计算点积，这样向量就在同一个方向上对齐了。这样，我们就得到了一个向量在另一个向量上的投影。

对于n维向量，点积由下式给出：

A·Β=α∑b——

dot产品具有以下特性：

• 它是可交换的。

Α·b=b·α

• 它遵循分配规律。

Α·（b+c）=α·b+α·c

• 它遵循标量乘法定律。

（λα）·（μb）=λμ（α·b）

dot产品具有以下应用：

• 它用来求平面上两点之间的距离。

当一个点的坐标已知时，它被用来求该点在平面上的投影。

什么是交叉积(cross product)？

两个向量的叉积或向量积是它们的量值和一个向量对另一个向量的角度的正弦的乘积。它也被称为有向面积积。

具体表现为：

A×Β=| A | | B | sinθ

结果是另一个向量量。结果向量垂直于两个向量。它的方向可以用右手定则来确定。

计算叉积时应牢记以下规则：

• I×j=k
• J×k=i
• K×I=j

其中I、j和k分别是x、y和z方向上的单位向量。

叉积具有以下属性：

• 它是反交换的。

a×b=–（b×α）

• 它遵循分配规律。

a×（b+c）=α×b+α×c

• 它遵循标量乘法定律。

（λα）×（b）=λ（α×b）

交叉积有以下应用：

1. 它用于求两条斜线之间的距离。
2. 它用于确定两个向量是否共面。

点积与叉积的主要区别

点积和叉积允许在向量代数中进行计算。它们有不同的应用和不同的数学关系。

两者的主要区别在于：

• 两个向量的点积是它们的量值和它们相对的角的余弦的乘积。另一方面，两个向量的叉积是它们的大小和它们之间的夹角的正弦的乘积。
• 点积的关系为：α•b=| a | | b | cosθ。另一方面，叉积的关系是：α×b=|α| | b | sinθ
• 两个向量的点积的结果是一个标量，而两个向量的叉积的结果是一个向量量。
• 如果两个向量是正交的，那么它们的点积是零，而它们的叉积是最大的。
• 点积遵循交换定律，而叉积是反交换的。

结论

向量代数在各种数学科目中有很大的实用价值。它在几何学和电磁学中的应用非常普遍。向量的点积和叉积是向量代数中的基本运算。它们有几个应用程序。点积计算一个标量。这个数量通常是距离或长度。

叉积计算向量量。所以，我们得到空间中的另一个向量。我们可以对向量执行加法、减法和乘法等运算。位移、速度和加速度是物理学中常见的矢量。

向量的概念是在200多年前发展起来的。从那时起，由于许多数学家和科学家的贡献，它蓬勃发展起来。

参考文献

• https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
• https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/dray/dray.pdf