転置行列と逆行列

転置行列と逆行列は、行列代数で遭遇する特別な性質を持つ行列の2つのクラスです。これらは互いに異なるものであり、入手するための操作も異なるため、密接な関連性はありません。

線形代数やコンピュータサイエンスなど、派生的な実装の分野で幅広く応用されている。

転置行列の詳細

行列aの転置は、列を行に、または行を列に並べ替えて得られる行列として特定することができる。したがって、各要素のインデックスは可換である。より正式には、行列Aの転置は次のように定義されます。

どこ

転置行列では、対角線はそのままで、他のすべての要素が対角線を中心に回転します。同時に、行列のサイズがm×nからn×mに変わります。

転置には、行列の操作を容易にするいくつかの重要な性質があります。いくつかの重要な転置行列を、その特徴に基づいて定義する。行列は、その転置と等しい場合、対称である。行列は、その転置の負の行列に等しい場合、スキュー対称である。行列の共役転置は、行列の転置をその複素共役要素で置き換えたものです。

逆行列の詳細

行列の逆行列は、掛け合わせたときに単位行列を与える行列と定義されています。したがって、定義上、AB＝BA＝Iであれば、BはAの逆行列であり、AはBの逆行列である。したがって、B＝A-1と考えると、AA-1＝A-1A＝I

行列が可逆であるための十分条件は、a の行列式が 0 でないこと、すなわち｜a｜= det(a) ≠ 0 である。この条件を満たす行列は、可逆、非特異、非縮退と呼ばれる。このことから、Aは正方行列であり、A-1とAは同じ大きさであることがわかる。

行列Aの逆行列は、ガウスの消去法、固有値分解、コレスキー分解、カーマーの法則など、線形代数の多くの方法を用いて計算することができます。行列はブロックインバージョン法やノイマン級数を使って反転させることもできます。

行列の逆行列と転置行列の違いは何ですか？

-変換は行列の列と行を並べ替えることで得られ、逆変換は比較的難しい数値計算で得られる(ただし、どちらも実際には線形変換である)

-直接の結果として、転置の要素は位置が変わるだけで数値は同じですが、逆に元の行列とは全く異なる数値になることがあります。