定積分と不定積分

微分積分は数学の重要な一分野であり、微分積分では重要な役割を担っている。微分の逆数を積分といい、過程の逆数を積分といい、簡単に言えば微分の逆数で積分が得られる。積分は、得られる結果によって、定積分と不定積分に分けられる。

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不定積分は、より一般的な積分の形で、対象となる関数の逆微分として解釈することができます。Fを微分するとFが得られ、Fを積分すると積分が得られるとする。これは通常、F(x) = ∫ ƒ(x)dx または F = ∫ ƒdx と書かれ、F と ƒ は共に x の関数で、F は微分可能である。ライマン積分として知られる上記の形式では、結果として得られる関数に任意の定数を伴います。このように、不定函数族は不定積分を引き起こすことが多い。

微分方程式を解くには、積分と積分過程が中心となる。しかし、微分と違って、積分は必ずしも明示的な標準手順に従うとは限らず、時には原始関数で明示的に解を表すことができないこともある。このような場合、解析解は通常、不定積分の形で与えられる。

定積分の詳細

定積分は、積分の過程で実際に有限の数を生成する不定積分の非常に貴重な対偶である。これは、関数 ƒ の曲線が与えられた区間で囲まれた領域として、図式的に定義することができる。独立変数で与えられた区間で積分を行うと、積分は必ず確定値をとり、通常a∫bƒ（x）dxまたは∫bƒdxと表記される。

不定積分と定積分は、微積分の第一基本定理によって互いに関連しており、定積分は不定積分の項で計算することができる。この定理は、a∫bƒ(x)dx = F(b) - F(a) を証明する。ここで、Fとƒはともにxの関数で、Fは区間(a、b)で微分可能である。区間を考慮し、a、bをそれぞれ下限、上限とする。

積分は実数関数だけでなく、複素関数にも拡張することができ、これを輪郭積分と呼びます（ƒは複素変数の関数）。

定積分と不定積分の違いは何ですか？

不定積分は、関数の反定値、通常は定解ではなく関数の族を表します。定積分では、積分は有限の数を与えることになります。

不定積分は任意の変数（したがって関数の族）に関連し、任意の定数を持つ代わりに、定積分は積分の上限と下限を持つ。