麥考利久期和修正久期主要用於計算債券的久期。麥考利期限計算債券持有人收到債券現金流之前的加權平均時間。相反，當到期收益率發生變化時，修正久期衡量債券的價格敏感性。

關鍵要點

• 有幾種不同的方法來處理期限的概念，或固定收益資產的價格對利率變化的敏感性。
• 麥考利期限是債券現金流到期的加權平均期限，經常被使用免疫策略的投資組合經理使用。
• 修改後的債券期限是麥考利期限的調整版本，用於計算到期收益率每變化一個百分比的債券期限和價格變化。

麥考利持續時間

麥考利期限的計算方法是：將時間段乘以定期息票支付，所得值除以1，再加上到期時的定期收益率。接下來，計算每個時段的值並相加。然後，將所得值與總週期數相加，再乘以票麵價值，再除以1，再加上提高到總週期數的週期收益率。然後價值除以當前債券價格。

麥考利持續時間=(∑t=1nt∗C（1+y）t+n∗M（1+y）n）電流鍵pricewhere:C=periodic 息票支付Y=定期收益M=債券到期價值N=債券期限\開始{對齊}&amp\text{Macaulay Duration}=\frac{\left（\sum{t=1}^{n}{\frac{t*C}{\left（1+y\ right）^t}}+\frac{n*M}{\left（1+y\ right）^n}\right）}{\text{Current bond price}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；C=\text{定期優惠券支付}\\&amp；y=\text{週期收益率}\\&amp；M=\text{債券到期價值}\\&amp；n=\text{期中鍵的持續時間}\\\結束{對齊}​麥考利期限=當前債券價格(∑t=1n​(1+y）tt∗C​+(1+y）nn∗M​)​where:C=periodic 息票支付Y=定期收益M=債券到期價值N=債券期限​

債券價格的計算方法是：現金流乘以1，減去1，再除以1，再加上到期收益率，再除以所需收益率。所得價值加上債券的票麵價值，或到期價值除以1，再加上到期收益率提高到總期限數。

例如，假設五年期債券的麥考利期限為4.87年（1*60）/（1+0.06）+（2*60）/（1+0.06）^2+（3*60）/（1+0.06）^3+（4*60）/（1+0.06）^4+（5*60）/（1+0.06）^5+（5*5000）/（1+0.06）^5）/（60*（（1-（1+0.06）^-5）/（0.06））+（5000/（1+0.06）^5））。

該債券的修改期限為4.59年（4.87/（1+0.06/1），一個息票期的到期收益率為6%。因此，如果到期收益率從6%增加到7%，債券的期限將減少0.28年（4.87-4.59）。

計算債券價格變化百分比的公式是收益率變化乘以修改期限的負值乘以100%。當收益率增加1%時，由此產生的債券百分比變化計算為-4.59%（0.01*-4.59*100%）。

修改後的持續時間

修正持續時間=麥考利持續時間（1+YTMn）where:YTM=yield to durityn=每年的息票期數\開始{對齊}&amp\text{Modified Duration}=\frac{\text{Macauley Duration}}{\左（1+\frac{YTM}{n}\右）}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；YTM=\text{到期收益率}\\&amp；n=\text{每年的息票期數}\end{對齊}​修正持續時間=（1+nYTM）​)麥考利持續時間​where:YTM=yield 到期日n=每年的息票期數​

修改後的期限是麥考利期限的一個調整版本，它解釋了到期收益率的變化。修正期限的公式是麥考利期限值除以1，再加上到期收益率除以每年的息票期數。修改後的期限決定了到期收益率每一個百分比的變化對債券期限和價格的影響。

例如，假設6年期債券的面值為1000美元，年票面利率為8%。麥考利壽命計算為4.99年（（1*80）/（1+0.08）+（2*80）/（1+0.08）^2+（3*80）/（1+0.08）^3+（4*80）/（1+0.08）^4+（5*80）/（1+0.08）^5+（6*80）/（1+0.08）^6+（6*1000）/（1+0.08）^6）/（1-（1+0.08）^-6）/0.08+1000/（1+0.08）^6）。

該債券的修改期限為4.62年（4.99/（1+0.08/1），一個息票期的到期收益率為8%。因此，如果到期收益率從8%增加到9%，債券的期限將減少0.37年（4.99-4.62）。

計算債券價格變化百分比的公式是收益率變化乘以修改期限的負值乘以100%。當利率從8%提高到9%時，債券的百分比變化計算為-4.62%（0.01*-4.62*100%）。

因此，如果隔夜利率上漲1%，預計債券價格將下跌4.62%。

修改後的期限和利率互換

修改後的期限可以延長，以計算利率掉期償還掉期價格所需的年數。利率互換是一套現金流與另一套現金流的交換，是基於雙方之間的利率規範。

修改後的期限是透過將利率互換交易段或現金流系列的一個基點變動的美元價值除以現金流系列的現值來計算的。然後將價值乘以10000。每一系列現金流的修正持續時間也可以透過將現金流系列基點變化的美元價值除以名義價值加上市場價值來計算。分數乘以10000。

必須計算兩個分支的修改期限才能計算利率互換的修改期限。兩個修改期限之間的差異是利率互換的修改期限。利率互換修改期限的計算公式是：接受期的修改期限減去支付期的修改期限。

例如，假設銀行A和銀行B進行利率互換。掉期接受部分的修改期限按9年計算，支付部分的修改期限按5年計算。由此產生的利率互換的修改期限為四年（9年-5年）。

比較麥考利持續時間和改良持續時間

由於Macaulay久期衡量的是投資者必須持有債券的加權平均時間，直到債券現金流的現值等於購買債券的金額，因此債券經理通常使用它來管理債券投資組合風險。

相比之下，修正後的久期確定了收益率每一個百分比變化的久期變化程度，同時衡量了利率變化對債券價格的影響程度。因此，修正後的久期可以為債券投資者提供一種風險度量方法，透過近似估計債券價格隨利率上升而下降的幅度。需要註意的是，債券價格和利率之間存在著反比關係。