理性的(rational)和無理數(irrational numbers)的區別
術語“數字”讓我們想到通常被歸類為大於零的正整數值。其他種類的數字包括整數和分數、複數和實數以及負整數值。
進一步擴充套件數字的分類，我們會遇到有理數和無理數。有理數是可以寫成分數的數。換句話說，有理數可以寫成兩個數的比值。
例如，考慮數字6，它可以寫成兩個數字的比值，即。6和1的比值為6/1。同樣，2/3，也就是一個分數，是一個有理數。
因此，我們可以定義一個有理數，作為一個分數形式的數，其中分子（頂部的數字）和分母（底部的數字）都是整數。因此，根據定義，每個整數也是一個有理數。
兩個大數的比率，如（129367871）/（547724863）也可以構成有理數的一個例子，原因很簡單，分子和分母都是整數。
相反地，任何不能用分數或比率表示的數字都稱為無理數。無理數最常被引用的例子是√2 (1.414213…). 無理數的另一個流行例子是數值常數π (3.141592…).
無理數可以寫成小數，但不能寫成小數。無理數雖然存在於數列上，但在日常生活中並不常用。數列上有無窮多個介於0和1之間的無理數。無理數在小數點的右邊有無數不重覆的數字。
註意常被引用的22/7的常數π 事實上只是π. 根據定義，圓的周長除以半徑的兩倍就是π. 這導致了多重價值觀π, 包括但不限於333/106、355/113等1。
只有平方數的平方根；i、 例如，完美平方的平方根是有理的。
√1=1（有理）
√2（非理性）
√3（非理性）
√4=2（有理）
√5, √6, √7, √8（非理性）
√9=3（有理），依此類推。
此外，我們註意到，只有n次冪的n根是有理的。因此，64的6次方是有理的，因為64是6次方，即2的6次方。但是63的6次方是非有理的。63不是完美的6次方。
不可避免地，非理性的十進製表示出現了，並提出了一些有趣的結果。
當我們把一個有理數表示為十進位制數時，那麼十進位制數要麼是精確的（如1/5=0.20），要麼是不精確的（如1/3）≈ 0.3333). 無論哪種情況，都會有一個可預測的數字模式。請註意，當一個無理數被表示為十進位制數時，顯然它是不精確的，否則，這個數就是有理數。
此外，不會有可預測的數字模式。例如，
√2≈1.4142135623730950488016887242097
現在，對於有理數，我們偶爾會遇到1/11=0.090。
等號（=）和三點（省略號）的使用意味著，儘管不可能精確地將1/11表示為十進位制，但我們仍然可以使用盡可能多的十進位制數字來近似1/11。
因此，1/11的小數形式被認為是不精確的。同樣地，小數形式¼ 精確到0.25。
至於無理數的十進位制形式，它們總是不精確的。繼續以√2、我們寫作的時候√2 = 1.41421356237. . . (註意省略號的使用），它立即意味著√2個是準確的。此外，不會有可預測的數字模式。同樣，利用數值方法中的概念，我們可以合理地逼近盡可能多的小數位數，直到我們接近這個點為止√2.
任何關於有理數和無理數的註記都不能在沒有必要的證明的情況下結束√2是不合理的。在此過程中，我們還闡明瞭矛盾證明的經典例子。
假設√2是理性的。這使我們把它表示為兩個整數的比值，比如p和q。
√2=p/q
不用說，p和q沒有公因式，因為如果有公因式的話，我們就把它們從分子和分母中去掉了。
把方程兩邊都平方，我們得到，
2=p2/q2
這可以方便地寫成，
p2=2q2
最後一個等式表明p2是偶數。只有當p本身是偶數時，這才是可能的。這又意味著p2可以被4整除，因此q2和q必須是偶數。所以p和q都是偶數，這與我們最初的假設相矛盾，即它們沒有公因子。因此，√2不可能是理性的。Q.E.D。
- 發表於 2021-06-24 19:08
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