术语“数字”让我们想到通常被归类为大于零的正整数值。其他种类的数字包括整数和分数、复数和实数以及负整数值。

进一步扩展数字的分类，我们会遇到有理数和无理数。有理数是可以写成分数的数。换句话说，有理数可以写成两个数的比值。

例如，考虑数字6，它可以写成两个数字的比值，即。6和1的比值为6/1。同样，2/3，也就是一个分数，是一个有理数。

因此，我们可以定义一个有理数，作为一个分数形式的数，其中分子（顶部的数字）和分母（底部的数字）都是整数。因此，根据定义，每个整数也是一个有理数。

两个大数的比率，如（129367871）/（547724863）也可以构成有理数的一个例子，原因很简单，分子和分母都是整数。

相反地，任何不能用分数或比率表示的数字都称为无理数。无理数最常被引用的例子是√2 (1.414213…). 无理数的另一个流行例子是数值常数π (3.141592…).

无理数可以写成小数，但不能写成小数。无理数虽然存在于数列上，但在日常生活中并不常用。数列上有无穷多个介于0和1之间的无理数。无理数在小数点的右边有无数不重复的数字。

注意常被引用的22/7的常数π 事实上只是π. 根据定义，圆的周长除以半径的两倍就是π. 这导致了多重价值观π, 包括但不限于333/106、355/113等1。

只有平方数的平方根；i、 例如，完美平方的平方根是有理的。

√1=1（有理）

√2（非理性）

√3（非理性）

√4=2（有理）

√5, √6, √7, √8（非理性）

√9=3（有理），依此类推。

此外，我们注意到，只有n次幂的n根是有理的。因此，64的6次方是有理的，因为64是6次方，即2的6次方。但是63的6次方是非有理的。63不是完美的6次方。

不可避免地，非理性的十进制表示出现了，并提出了一些有趣的结果。

当我们把一个有理数表示为十进制数时，那么十进制数要么是精确的（如1/5=0.20），要么是不精确的（如1/3）≈ 0.3333). 无论哪种情况，都会有一个可预测的数字模式。请注意，当一个无理数被表示为十进制数时，显然它是不精确的，否则，这个数就是有理数。

此外，不会有可预测的数字模式。例如，

√2≈1.4142135623730950488016887242097

现在，对于有理数，我们偶尔会遇到1/11=0.090。

等号（=）和三点（省略号）的使用意味着，尽管不可能精确地将1/11表示为十进制，但我们仍然可以使用尽可能多的十进制数字来近似1/11。

因此，1/11的小数形式被认为是不精确的。同样地，小数形式¼ 精确到0.25。

至于无理数的十进制形式，它们总是不精确的。继续以√2、我们写作的时候√2 = 1.41421356237. . . (注意省略号的使用），它立即意味着√2个是准确的。此外，不会有可预测的数字模式。同样，利用数值方法中的概念，我们可以合理地逼近尽可能多的小数位数，直到我们接近这个点为止√2.

任何关于有理数和无理数的注记都不能在没有必要的证明的情况下结束√2是不合理的。在此过程中，我们还阐明了矛盾证明的经典例子。

假设√2是理性的。这使我们把它表示为两个整数的比值，比如p和q。

√2=p/q

不用说，p和q没有公因式，因为如果有公因式的话，我们就把它们从分子和分母中去掉了。

把方程两边都平方，我们得到，

2=p2/q2

这可以方便地写成，

p2=2q2

最后一个等式表明p2是偶数。只有当p本身是偶数时，这才是可能的。这又意味着p2可以被4整除，因此q2和q必须是偶数。所以p和q都是偶数，这与我们最初的假设相矛盾，即它们没有公因子。因此，√2不可能是理性的。Q.E.D。