集中趋势与分散

在描述性和推断统计学中，用几个指标来描述一个数据集，它对应于它的中心趋势、离散度和偏斜度：这三个最重要的属性决定了数据集分布的相对形状。

什么是中心趋势？

中心倾向是指并定位价值分布的中心。平均值、模式和中位数是描述数据集中趋势最常用的指标。如果一个数据集是对称的，那么数据集的中值和平均值都是一致的。

给定一个数据集，取所有数据值之和，然后除以数据数，计算出平均值。例如，10个人的体重（千克）被测量为70、62、65、72、80、70、63、72、77和79。然后十个人的平均体重（公斤）可以计算如下。权重之和为70+62+65+72+80+70+63+72+77+79=710。平均值=（总和）/（数据数量）=710/10=71（千克）。据了解，异常值（偏离正常趋势的数据点）往往会影响平均值。因此，在存在异常值的情况下，仅凭平均值不能给出关于数据集中心的正确图像。

中值是在数据集的正中间找到的数据点。计算中值的一种方法是按升序排列数据点，然后将数据点定位在中间。例如，如果一次排序，先前的数据集如下所示：62、63、65、70、70、72、72、77、79、80。因此，（70+72）/2=71处于中间位置。由此可以看出，中位数不必在数据集中。中位数不受异常值的影响。因此，在存在异常值的情况下，中位数可以更好地衡量中央趋势。

模式是数据集中出现频率最高的值。在前面的例子中，值70和72都出现两次，因此，两者都是模式。这表明，在某些分布中，存在一个以上的模态值。如果只有一种模式，则称数据集是单峰的，在这种情况下，数据集是双峰的。

什么是分散？

分散度是关于分布中心的数据的扩散量。范围和标准差是最常用的分散度测量方法。

范围就是最高值减去最低值。在前面的示例中，最大值为80，最小值为62，因此范围为80-62=18。但是距离并不能提供关于色散的足够图像。

为了计算标准差，首先计算数据值与平均值的偏差。偏差的均方根称为标准差。在前面的示例中，与平均值的偏差分别为（70–71）=-1，（62–71）=-9，（65–71）=-6，（72–71）=1，（80–71）=9，（70–71）=1，（63–71）=8，（72–71）=1，（77–71）=6和（79–71）=8。偏差平方和为（-1）2+（-9）2+（-6）2+12+92+（-1）2+（-8）2+12+62+82=366。标准偏差为√（366/10）=6.05（千克）。除非数据集有很大的偏差，否则可以由此得出结论，大部分数据在71±6.05的区间内，在这个特定的例子中确实如此。