微积分是数学的一个分支，涉及变化率的研究。微积分发明之前，所有的数学都是静态的：它只能帮助计算完全静止的物体。但是宇宙在不断地移动和变化。从太空中的恒星到身体中的亚原子粒子或细胞，没有任何物体总是处于静止状态。事实上，宇宙中几乎所有的东西都在不断地运动。微积分有助于确定粒子、恒星和物质如何实时移动和变化。

微积分应用于许多领域，你通常不会认为这些领域会利用微积分的概念。其中包括物理学、工程学、经济学、统计学和医学。微积分也被用于太空旅行等不同领域，以及确定药物如何与身体相互作用，甚至如何构建更安全的结构。如果你对微积分的历史以及它的用途和测量有一点了解，你就会明白为什么微积分在很多领域都很有用。

关键收获：微积分的基本定理

• 微积分是研究变化率的学科。
• 17世纪数学家戈特弗里德·莱布尼茨和艾萨克·牛顿都独立发明了微积分。牛顿首先发明了它，但莱布尼茨创造了数学家今天使用的符号。
• 微积分有两种类型：微分确定一个量的变化率，而积分则在变化率已知的地方找到该量。

谁发明了微积分？

微积分是在17世纪后半叶由两位数学家，戈特弗里德·莱布尼茨和艾萨克·牛顿发展起来的。牛顿首先发展了微积分，并将其直接应用于理解物理系统。莱布尼茨独立开发了微积分中使用的符号。简单地说，基础数学使用加号、减号、倍和除法（+、-、x和÷）等运算，而微积分使用函数和积分计算变化率的运算。

这些工具使牛顿、莱布尼茨和其他数学家能够计算出曲线在任意点的精确斜率。数学故事解释了牛顿微积分基本定理的重要性：

利用微积分，科学家、天文学家、物理学家、数学家和化学家现在可以绘制行星和恒星的轨道图，以及原子水平上电子和质子的路径图。

微分与积分

微积分有两个分支：微分学和积分学。“微分学研究导数，积分学研究……积分，”麻省理工学院指出。但事情远不止这些。微分学决定一个量的变化率。它检查坡度和曲线的变化率。

该分支研究函数相对于其变量的变化率，特别是通过使用导数和微分。导数是图上直线的斜率。通过计算梯段上的上升，可以找到直线的坡度。

相比之下，积分学则试图找出变化率已知的量。本分支主要关注切线斜率和速度等概念。微分学关注曲线本身，而积分学关注曲线下的空间或面积。积分用于计算总尺寸或值，如长度、面积和体积。

微积分在17世纪和18世纪的航海发展中起到了不可或缺的作用，因为它使水手们能够利用月球的位置准确地确定当地时间。为了绘制他们在海上的位置图，航海家需要能够准确地测量时间和角度。在微积分发展之前，船舶领航员和船长两者都做不到。

微积分-包括导数和积分-有助于提高对地球曲线这一重要概念的理解，船只必须绕曲线到达特定位置的距离，甚至地球、海洋和船只与恒星的对齐。

实际应用

微积分在现实生活中有许多实际应用。使用微积分的一些概念包括运动、电、热、光、谐波、声学和天文学。微积分应用于地理、计算机视觉（如汽车自动驾驶）、摄影、人工智能、机器人、视频游戏，甚至电影。微积分还用于计算化学中的放射性衰变率，甚至用于预测出生率和死亡率，以及重力和行星运动、流体流动、船舶设计、几何曲线和桥梁工程的研究。

例如，在物理学中，微积分用于帮助定义、解释和计算运动、电、热、光、谐波、声学、天文学和动力学。爱因斯坦的相对论依赖于微积分，这是一个数学领域，也有助于经济学家预测一家公司或一个行业能赚多少钱。在造船业中，微积分多年来一直被用于确定船体曲线（使用微积分），以及船体下面积（使用积分），甚至在船舶的一般设计中。

此外，微积分还用于检查不同数学学科（如统计学、分析几何和代数）的答案。

经济学中的微积分

经济学家使用微积分来预测供给、需求和最大潜在利润。毕竟，供给和需求基本上是绘制在一条曲线上的，并且是一条不断变化的曲线。

经济学家使用微积分来确定需求的价格弹性。他们将不断变化的供需曲线称为“弹性”，曲线的作用称为“弹性”。要计算供需曲线上某一特定点的弹性的精确度量，你需要考虑价格的无限小变化，因此，在你的弹性公式中加入数学导数。微积分可以让你确定不断变化的供求曲线上的特定点。

来源

《微积分概述》，麻省理工学院，2000年1月10日，马萨诸塞州剑桥。