如何元件是否在电源组中？(elements are in the power set?)

集合a的幂集是集合a的所有子集的集合。当处理一个有n个元素的有限集合时，我们可能会问一个问题，“a的幂集中有多少个元素？”我们将看到这个问题的答案是2n，并从数学上证明为什么这是真的。...

集合a的幂集是集合a的所有子集的集合。当处理一个有n个元素的有限集合时，我们可能会问一个问题，“a的幂集中有多少个元素？”我们将看到这个问题的答案是2n，并从数学上证明为什么这是真的。

对模式的观察

我们将通过观察a的幂集中的元素数来寻找模式，其中a有n个元素：

如果A={}（空集），那么A没有元素，只有P（A）={}，一个只有一个元素的集合。
如果A={A}，那么A有一个元素，P（A）={{}，{A}，一个有两个元素的集合。
如果A={A，b}，那么A有两个元素，P（A）={{}，{A}，{b}，{A，b}，一个有两个元素的集合。

在所有这些情况下，对于元素数量较少的集合，很容易看出，如果a中有有限数量的n个元素，那么幂集P（a）有2n个元素。但这种模式还会继续吗？仅仅因为模式对于n=0、1和2为真并不一定意味着模式对于更高的n值为真。

但这种模式仍在继续。为了证明事实确实如此，我们将使用归纳法证明。

归纳法证明

归纳证明对于证明关于所有自然数的陈述是有用的。我们分两步实现这一目标。对于第一步，我们锚定我们的证据，显示一个真实的陈述，我们希望考虑的第一个n值。我们证明的第二步是假设该语句适用于n=k，并证明这意味着该语句适用于n=k+1。

另一个观察结果

为了帮助我们证明，我们需要另一个观察。从上面的例子中，我们可以看到P（{a}）是P（{a，b}）的子集。{a}的子集正好构成{a，b}子集的一半。我们可以通过将元素b添加到{a}的每个子集中来获得{a，b}的所有子集。此集合添加通过union的集合操作完成：

空集U{b}={b}
{a} U{b}={a，b}

这是P（{a，b}）中的两个新元素，它们不是P（{a}）的元素。

我们看到P（{a，b，c}）也出现了类似的情况。我们从四组P（{a，b}）开始，在每一组P中添加元素c：

空集U{c}={c}
{a} U{c}={a，c}
{b} U{c}={b，c}
{a，b}U{c}={a，b，c}

所以我们在P（{a，b，c}）中总共有八个元素。

证据

我们现在准备好证明这句话，“如果集合A包含n个元素，那么幂集合P（A）有2n个元素。”

我们首先注意到，对于n=0、1、2和3的情况，归纳法证明已经被锚定。通过归纳，我们假设这个陈述对k成立。现在让集合A包含n+1个元素。我们可以写a＝b u {x}，并考虑如何形成a的子集。

我们取P（B）的所有元素，根据归纳假设，其中有2n个元素。然后我们将元素x添加到B的每个子集中，得到另外2n个B的子集。这耗尽了B的子集列表，因此总数是A的幂集的2n+2n=2（2n）=2n+1个元素。

发表于 2021-09-25 07:06
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分类：数学

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