计数似乎是一项容易完成的任务。当我们深入到被称为组合数学的数学领域时，我们意识到我们遇到了一些大的数字。因为阶乘经常出现，而且是一个数字，比如10！大于300万，如果我们试图列出所有的可能性，计数问题会很快变得复杂。

有时候，当我们考虑到我们的计数问题可能发生的所有可能性时，我们更容易思考问题的基本原理。这种策略所需的时间比使用蛮力列出许多组合或排列要少得多。

“有多少种方法可以完成某件事？”这一问题与“有什么方法可以完成某件事？”是完全不同的问题。我们将在下面一组具有挑战性的计数问题中看到这一想法的作用。

下面的一组问题涉及三角形这个词。请注意，总共有八个字母。要知道，单词TRIANGLE的元音是AEI，辅音是LGNRT。对于真正的挑战，在进一步阅读之前，请查看这些问题的一个没有解决方案的版本。

问题

1. 单词TRIANGLE的字母有多少种排列方式？解决方案：第一个字母共有八种选择，第二个字母有七种，第三个字母有六种，依此类推。根据乘法原理，我们相乘的总数为8×7×6×5×4×3×2×1=8！=40320种不同的方式。
2. 如果单词三角形的前三个字母必须按正确的顺序排列，那么可以用多少种方式排列？解决方案：前三个字母已经为我们选定，剩下五个字母。跑完后，下一封信我们有五个选择，然后是四个，然后是三个，然后是两个，然后是一个。根据乘法原理，有5x4x3x2x1=5！=120种按指定方式排列字母的方式。
3. 如果必须运行前三个字母（以任何顺序），那么单词三角形的字母可以有多少种排列方式？解决方案：将其视为两个独立的任务：第一个排列字母RAN，第二个排列其他五个字母。有3个！=6种方式安排RAN和5种方式！其他五封信的排列方式。所以一共有3个！x5！=720种按规定排列三角形字母的方法。
4. 如果单词三角形的前三个字母必须以任意顺序排列，而最后一个字母必须是元音，那么有多少种方式可以排列字母？解决方案：将此视为三个任务：第一个任务是排列字母RAN，第二个任务是从I和E中选择一个元音，第三个任务是排列其他四个字母。有3个！=6种排列RAN的方法，2种从剩余字母中选择元音的方法，4种！其他四个字母的排列方式。所以一共有3个！x2x4！=288按规定排列三角形字母的方法。
5. 如果单词TRIANGLE的前三个字母必须是run（以任何顺序），而接下来的三个字母必须是TRI（以任何顺序）？解决方案：我们又有三个任务：第一个任务是排列字母run，第二个任务是排列字母TRI，第三个任务是排列其他两个字母。有3个！=6种方式安排跑步，3种！三种排列方式和两种排列其他字母的方式。所以一共有3个！x3！X 2=72种排列三角形字母的方式，如图所示。
6. 如果元音的顺序和位置不能改变，三角形单词的字母可以有多少种不同的排列方式？解决方案：三个元音必须保持相同的顺序。现在一共有五个辅音要排列。这可以在5分钟内完成！=120条路。
7. 如果元音IAE的顺序不能改变，尽管它们的位置可以改变（IAETRNGL和TRIANGEL是可以接受的，但EIATRNGL和TRIENGLA不是），三角形这个词的字母可以有多少种不同的排列方式？解决方案：最好分两步考虑。第一步是选择元音所在的位置。在这里，我们从八个地方中选出三个，我们这样做的顺序并不重要。这是一个组合，总共有C（8,3）=56种方法来执行此步骤。剩下的五封信可以分成五封！=120条路。这给出了总共56 x 120=6720个排列。
8. 如果元音的顺序可以改变，但它们的位置可能不会改变，那么单词三角形的字母可以有多少种不同的排列方式呢？解决方案：这实际上与上面的#4相同，但字母不同。我们把三封信分成三封6种方式和5个字母中的其他5个！=120条路。这种安排的方式总数为6 x 120=720。
9. 三角形这个词的六个字母可以有多少种不同的排列方式？解决方案：因为我们讨论的是一种排列，所以这是一种排列，总共有P（8，6）=8/2! = 20160种方式。
10. 如果必须有相同数量的元音和辅音，那么单词三角形的六个字母可以有多少种不同的排列方式？解决方案：只有一种方法可以选择我们要放置的元音。辅音的选择可以用C（5，3）=10种方法来完成。还有6个！六个字母的排列方式。将这些数字相乘，得到7200的结果。
11. 如果必须至少有一个辅音，那么单词三角形的六个字母可以有多少种不同的排列方式？解决方案：每六个字母的排列都满足条件，因此有P（8，6）=20160种排列方式。
12. 如果元音必须与辅音交替，那么单词三角形的六个字母可以有多少种不同的排列方式？解决方案：有两种可能，第一个字母是元音，或者第一个字母是辅音。如果第一个字母是元音，我们有三个选择，然后五个是辅音，两个是第二个元音，四个是第二个辅音，一个是最后一个元音，三个是最后一个辅音。我们乘以它得到3x5x2x4x1x3=360。根据对称参数，以辅音开头的排列数是相同的。总共有720个安排。
13. 有多少组不同的四个字母可以由

• 有一个元音的四组的数量是C（3，1）x C（5，3）=30。
• 有两个元音的四组的数量是C（3，2）x C（5，2）=30。
• 有三个元音的四个元音的集合的数目是C（3，3）x C（5，1）=5。

这总共提供了65个不同的集合。或者，我们可以计算出有70种方法可以形成一个由任意四个字母组成的集合，然后减去C（5，4）=5种方法可以得到一个没有元音的集合。