方法1方法1/2：寻找两条直线的交点

1. 1用y{\displaystyle y}在左侧写出每行的方程式。如有必要，重新排列方程式，使y{\displaystyle y}单独位于等号的一侧。如果方程式使用f（x）{\displaystyle f（x）}或g（x）{\displaystyle g（x）}而不是y{\displaystyle y}，则将此项分开。记住，你可以通过对双方执行相同的操作来取消条款。从基本方程y=mx+b{\displaystyle y=mx+b}开始。如果你不知道这些方程式，根据你掌握的信息找出它们。示例：您的两行是y=x+3{\displaystyle y=x+3}和y−12=−2x{\displaystyle y-12=-2x}。要在第二个等式中单独得到y{\displaystyle y}，请在每边加上12:y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}。

2. 2将等式的右侧设置为彼此相等。我们正在寻找一个点，其中两行具有相同的x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}值；这是界线交叉的地方。两个方程的左边只有y{\displaystyle y}，所以我们知道右边是相等的。写一个新的方程式来表示这一点。例如，如果你想知道y=x+3与y=12-2x的交叉点，你可以通过写x+3=12-2x将它们相等。

3. 3.解x。新方程只有一个变量x{\displaystyle x}。通过在两边执行相同的操作，使用代数解决这个问题。在方程的一侧获取x{\displaystyle x}项，然后将其转换为x=？？{\displaystyle x=？？}。（如果不可能，请跳到本节末尾。）示例：x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}每边加2x{\displaystyle 2x}：3x+3=12{\displaystyle 3x+3=12}每边减去3:3x=9{\displaystyle 3x=9}每边除以3:x=3{\displaystyle x=3}。。

4. 4使用这个x{\displaystyle x}-值来求解y{\displaystyle y}。为任一行选择方程式。用找到的答案替换等式中的每个x{\displaystyle x}。对y{\displaystyle y}进行算术运算。示例：x=3{\displaystyle x=3}和y=x+3{\displaystyle y=x+3}y=3+3{\displaystyle y=3+3}y=6{\displaystyle y=6}

5. 5检查你的工作。最好将x{\displaystyle x}-值插入另一个等式，看看是否得到相同的结果。如果你得到了不同的y{\displaystyle y}解决方案，请返回并检查你的工作是否有错误。示例：x=3{\displaystyle x=3}和y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}y=12−2（3）{\displaystyle y=12-2（3）}y=12−6{\displaystyle y=12-6}y=6{\displaystyle y=6}这是与之前相同的答案。我们没有犯任何错误。

6. 6写下交叉点的x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}坐标。现在您已经解出了两条线相交点的x{\displaystyle x}-值和y{\displaystyle y}-值。以x{\displaystyle x}-值作为第一个数字，将该点作为坐标对写下来。示例：x=3{\displaystyle x=3}和y=6{\displaystyle y=6}这两条线在（3,6）处相交。

7. 7.处理不寻常的结果。有些方程使x{\displaystyle x}无法求解。这并不总是意味着你犯了错误。一对直线有两种方法可以得到一个特殊的解决方案：如果两条直线平行，它们就不相交。x{\displaystyle x}项将被抵消，等式将简化为错误语句（例如0=1{\displaystyle 0=1}）。写下“直线不相交”或“没有真正的解”作为你的答案。如果这两个方程描述的是同一条直线，那么它们在任何地方都“相交”。x{\displaystyle x}项将被抵消，等式将简化为一个真正的语句（例如3=3{\displaystyle 3=3}）。写“这两行是一样的”作为你的答案。。

方法2方法2/2：二次方程问题

1. 1认识二次方程。在二次方程中，一个或多个变量是平方的（x2{\displaystyle x^{2}或y2{\displaystyle y^{2}），没有更高的幂。这些方程式所代表的直线是曲线，因此它们可以在0、1或2点处与直线相交。本节将教您如何找到问题的0、1或2解决方案。用括号展开方程，检查它们是否是二次方程。例如，y=（x+3）（x）{\displaystyle y=（x+3）（x）}是二次的，因为它扩展为y=x2+3x。{\displaystyle y=x^{2}+3x.}圆或椭圆的方程既有x2{\displaystyle x^{2}项，也有y2{\displaystyle y^{2}项。如果您在这些特殊情况下遇到问题，请参阅下面的提示部分。。

2. 2.用y写出方程式。如有必要，重写每个方程式，使y在一边。示例：找到x2+2x的交点−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1}和y=x+7{\displaystyle y=x+7}。按照y:y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}和y=x+7{\displaystyle y=x+7}重写二次方程。这个例子有一个二次方程和一个线性方程。两个二次方程的问题用类似的方法解决。

3. 3将这两个方程组合起来，以抵消y。一旦你把两个方程都设为y，你就知道没有y的两边是相等的。例如：y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1}和y=x+7{\displaystyle y=x+7}x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}

4. 4.将新方程排列成一边等于零。使用标准的代数技巧将所有的项都放在一边。这将设置问题，以便我们在下一步中解决它。示例：x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}从每一侧减去x:x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7}从每一侧减去7:x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}

5. 5解二次方程。一旦你把一边设为零，有三种方法可以解二次方程。不同的人发现不同的方法更容易。您可以阅读关于二次公式或“完成平方”的内容，或者跟随这个分解方法的示例：示例：x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}因子分解的目标是找到两个相乘的因子，从而得出这个等式。从第一项开始，我们知道x2{\displaystyle x^{2}}可以分为x和x。写下（x）（x）=0来显示这一点。最后一学期是-6。列出每对相乘得到负六的因子：−6.∗1{\displaystyle-6*1}，−3.∗2{\displaystyle-3*2}，−2.∗3{\displaystyle-2*3}，以及−1.∗6{\displaystyle-1*6}。中间项是x（可以写成1x）。把每一对因素加在一起，直到得到1作为答案。正确的一对因素是−2.∗3{\displaystyle-2*3}，自−2+3=1{\displaystyle-2+3=1}。用以下两个因素来填补你答案中的空白：−2） （x+3）=0{\displaystyle（x-2）（x+3）=0}。。

6. 6注意x的两种解决方案。如果你工作太快，你可能会找到一个解决问题的办法，却没有意识到还有第二个办法。下面是如何找到相交于两点的直线的两个x值：例如（因式分解）：我们得到了方程（x−2） （x+3）=0{\displaystyle（x-2）（x+3）=0}。如果括号中的任一因子等于0，则方程为真。一个解决方案是x−2=0{\displaystyle x-2=0}→ x=2{\displaystyle x=2}。另一种解决方案是x+3=0{\displaystyle x+3=0}→ x=−3{\displaystyle x=-3}。例如（二次方程或完成平方）：如果你用这些方法中的一种来解你的方程，就会出现一个平方根。例如，我们的方程变成了x=(−1+25）/2{\displaystyle x=（-1+{\sqrt{25}）/2}。记住，平方根可以简化为两种不同的解：25=5∗5{\displaystyle{\sqrt{25}}=5*5}，和25=(−5)∗(−5） {\displaystyle{\sqrt{25}}=-5）*-5}。写出两个方程，每种可能性一个，每一个都解x。。

7. 7用一个或零个解决方案解决问题。两条几乎不接触的线只有一个交点，两条从不接触的线没有交点。下面是如何认识这些问题的方法：一个解决方案：将问题分解为两个相同的因子（（x-1）（x-1）=0）。当插入二次公式时，平方根项是0{\displaystyle{\sqrt{0}}。你只需要解一个方程。没有真正的解决方案：没有满足要求的因素（求和到中期）。当插入二次公式时，平方根符号下会出现一个负数（例如−2{\displaystyle{\sqrt{-2}}）。写“没有解决方案”作为你的答案。。

8. 8将你的x值插回到原始方程中。一旦你有了交点的x值，把它插回到你开始的方程中。求解y以找到y值。如果你有第二个x值，同样重复这个。示例：我们找到了两个解决方案，x=2{\displaystyle x=2}和x=−3{\displaystyle x=-3}。我们的其中一行有等式y=x+7{\displaystyle y=x+7}。插入y=2+7{\displaystyle y=2+7}和y=−3+7{\displaystyle y=-3+7}，然后求解每个方程，得到y=9{\displaystyle y=9}和y=4{\displaystyle y=4}。。

9. 9写出点坐标。现在用坐标形式写出答案，用交点的x值和y值。如果您有两个答案，请确保将正确的x值与每个y值匹配。示例：当我们插入x=2{\displaystyle x=2}时，我们得到了y=9{\displaystyle y=9}，所以一个交点在（2，9）处。第二个解的相同过程告诉我们另一个交点位于（-3,4）。

• 圆或椭圆的方程式有一个x2{\displaystyle x^{2}项和一个y2{\displaystyle y^{2}项。要求圆与直线的交点，请求解线性方程中的x。用解代替圆方程中的x，你会得到一个更简单的二次方程。这些问题可以有0、1或2个解决方案，如上述方法所述。
• 圆和抛物线（或其他二次曲线）可以有0、1、2、3或4个解。找出两个方程中的平方变量——假设它是x2。求解x2{\displaystyle x^{2}}，并用另一个等式中的x2{\displaystyle x^{2}替换答案。求解y得到0、1或2个解。将每个解插回原始的二次方程并求解x。每个解可以有0、1或2个解。