如何解双摆(solve the double pendulum)

二摆是经典力学中对初始条件高度敏感的问题。控制双摆的运动方程可以用拉格朗日力学找到，尽管这些方程是耦合的非线性微分方程，只能用数值方法求解。...

台阶

1.解决问题。我们可以想象一个长度为L1{\displaystyle L{1}和L2，{\displaystyle L{2}，}和质量为m1{\displaystyle m{1}和m2的双摆。{\displaystyle m_{2}.}第一个bob与垂直方向成角度θ1{\displaystyle\theta{1}}，第二个bob与垂直方向成角度θ2。{\displaystyle\theta{2}利用θ1{\displaystyle\theta{1}和θ2{\displaystyle\theta{2}作为这个问题的广义坐标是很方便的。本文的目的是推导双摆的拉格朗日方程，并使用欧拉-拉格朗日方程来获得运动方程。

$L_{{1}}$

$L_{{2}},$

$m_{{1}}$

$m_{{2}}.$

$\theta _{{1}}$

$\theta _{{2}}.$

$\theta _{{1}}$

$\theta _{{2}}$

2找到第一个鲍勃的能量。动能仅为K1=12m1L12θ˙12，{\displaystyle K{1}={\frac{1}{2}}m{1}L{1}{2}{\dot{theta}}{1}{2}，而势能是用三角学求出的。因为角度是相对于垂直方向的，所以我们需要余弦分量。因此，势能读数为U1=−m1gL1cos⁡θ1，{\displaystyle U{1}=-m{1}gL{1}\cos\theta{1}，其中g{\displaystyle g}是重力加速度。电势为负值，因为我们使用的是正y{\displaystyle y}轴向上的约定。
3.找出第二个鲍勃的能量。第二个bob更复杂，因为它的位置也取决于第一个bob。我们不能简单地用同样的方式写出它的动能，因为第二个鲍勃的位置也会随着第一个鲍勃而改变。因此，我们需要写出它的位置（x，y）{\displaystyle（x，y）}，然后进行微分以获得正确的速度。势能就是两个长度的余弦分量之和。U2=−m2g（L1cos）⁡θ1+L2cos⁡θ2{\displaystyle U{2}=-m{2}g\左（L{1}\cos\theta{1}+L{2}\cos\theta{2}\right}第二个bob的x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}位置如下所示。同样，我们使用三角学来挑选合适的分量。x=L1sin⁡θ1+L2sin⁡θ2{\displaystyle x=L_{1}\sin\theta{1}+L_{2}\sin\theta{2}}y=L1cos⁡θ1+L2cos⁡θ2{\displaystyle y=L_{1}\cos\theta{1}+L_{2}\cos\theta{2}现在我们根据时间来区分。注意，θ1=θ1（t）{\displaystyle\theta{1}=\theta{1}（t）}和θ2=θ2（t）{\displaystyle\theta{2}=\theta{2}（t）}都依赖于时间。x˙=L1cos⁡θ1θ˙1+L2cos⁡θ2θ˙2{\displaystyle{\dot{x}}=L{1}\cos\theta{1}{\dot{\theta}}1}+L{2}\cos\theta{2}{\dot{\theta}}}y}=−L1sin⁡θ1θ˙1−L2sin⁡2.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1}{2}m \左（{dot{x}}^{2}+{dot{y}}^{2}\右），}我们需要将这些项平方。交叉项的引入是运动方程最终变得有些复杂的部分原因。x˙2=L12cos2⁡θ1θ˙12+L22cos2⁡θ2θ˙22+2llll2cos⁡θ1cos⁡3.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1}L{2}\cos\theta{1}\cos\theta{2}{\dot{\theta}}}{1}{\dot{\theta}}}}}y}2=L12sin2⁡θ1θ˙12+L22sin2⁡θ2θ˙22+2L1L2sin⁡θ1sin⁡3.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1}L{2}\sin\theta{1}\sin\theta{2}{\dot{\theta}}{1}{\dot{\theta}}}{2}在下面，我们使用身份cos⁡θ1cos⁡θ2+sin⁡θ1sin⁡θ2=cos⁡(θ2−θ1）{\displaystyle\cos\theta{1}\cos\theta{2}+\sin\theta{1}\sin\theta{2}=\cos（\theta{2}-\theta{1}）来简化表达式。K2=12m2（L12θ˙12+L22θ˙22+2lll2θ˙1θ˙2cos⁡(θ2−（1）1）3）3）1）3）3）3）1）3）1）3）1）1）3）1）1）1）3）1）1）1）1）1）3）3）3）3）3）1）1）3）3）1）3）3）1）1）3）3）3）3）3）1）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）1）3）3）1）1）3）1）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）3）））dot{\theta}}{2}\cos（\theta{2}-\theta{1}）\right）}
4写出系统的拉格朗日函数。拉格朗日函数就是动能减去势能L=K−U.{\displaystyle{\mathcal{L}}=K-U.}这相当混乱，尤其是因为交叉项。L=12m112θ˙12+12m2（L12θ˙12+L22θ˙22+2ll2θ˙1θ˙2cos⁡(θ2−θ1））+m1gL1cos⁡θ1+m2g（L1cos）⁡θ1+L2cos⁡θ2{\displaystyle{\begin{aligned}{\mathcal{L}}={\frac{1}{2}}m{1}L{1}{2}{\dot{\theta}}}{1}{2}&amp+{{1}{{1}{{1}{{1}{{1}{{1}{{{1}{{1}{{{1}{{{{1}{{{{{1}{{{{1}}{{{1}}{{{{1}}{{{1}}{{{1}{1}{{1}{{1}{{{{{1}}}}{{{{{{{1}}}}{{{{{{{1}}}}}{{{{{{{{{{1}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\cos（\theta{2}-\theta{1}）\right）\\&amp+m{1}gL{1}\cos\theta{1}+m{2}g\left（L{1}\cos\theta{1}+L{2}\cos\theta{2}\right）\end{aligned}
5使用欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程如下所示：∂L∂qi=滴滴涕∂L∂qi{729;，{\ displaystyle{\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial q{i}}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}t}{\frac{\partial{\mathcal{L}}}}{\partial{dot{q{i}}}，其中qi\displaystyle{i}指的是广义坐标，在这种情况下。因此，我们必须采用导数。∂L∂θ1=m2L1L2θ˙1θ˙2sin⁡(θ2−θ1)−m1gL1sin⁡θ1−m2gL1sin⁡3.1{{\显示风格{{\显示风格{\ \显示风格{{\网页网页[[[[[1}}}{{{\网页[1}}}{{\网页[1}{{\网页[1}}{{\网页[1{\显示风格[1{\显示风格{\网页网页[[1}{\网页[[[[[1}}{\网页[[1}}{\网页[1}}}}}}}{{{{{{\网页[1}[1}[1}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{1}......................................................................................_{2}gL_{1}\sin\theta_{1}∂L∂θ1˙=m1L12θ1˙+m2L12θ1˙+m2L1L2θ2˙cos⁡(θ2−3.1元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元\ dot{\theta{2}}\cos（\theta{2}-\theta{1}）∂L∂θ2=−m2L1L2θ1˙θ2˙sin⁡(θ2−θ1)−m2gL2sin⁡θ2{\displaystyle{\frac{\partial{\mathcal{L}}}}{\partial\theta{2}}}=-m\u{2}L\u{1}L\u{2}{\dot{\theta{1}}}}{\dot{\theta{2}}}}\sin{1}-m\u{2}gL\u{2}\sin\theta\u{2}}∂L∂θ2˙=m2L22θ2˙+m2L1L2θ1˙cos⁡(θ2−3.1元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元元-滴滴涕∂L∂θ1˙=+（m1+m2）L12θ1¨+m2L1L2θ2¨cos⁡(θ2−θ1)−m2L1L2θ2˙sin⁡(θ2−θ1)(θ2˙−θ1˙）{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial{\dot{\theta{1}}}}=&amp+（m{1}+m{2}）L{1}{2}{\ddot{\theta{1}}+m{2}L{1}L{2}{\ddot{\theta{2}\cos（\theta{2}-\theta{1}）\&amp-m{2}L{1}L{2}{\dot{\theta{2}}}\sin（\theta{2}-\theta{1}）\left（{\dot{\theta{2}}}-{\dot{\theta{2}}-{\theta{1}\right）\end{aligned}ddt}∂L∂θ2˙=+m2L22θ2¨+m2L1L2θ1¨cos⁡(θ2−θ1)−m2L1L2θ1˙sin⁡(θ2−θ1)(θ2˙−θ1˙）{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}{\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial{\dot{\theta{2}}}}=&amp+m{2}L{2}{2}{\ddot{\theta{2}}+m{2}L{1}L{2}{\ddot{\theta{1}}\cos（\theta{2}-\theta{1}）\&amp-m{2}L{1}L{2}{\dot{\theta{1}}}\sin（\theta{2}-\theta{1}）\left（{\dot{\theta{2}}-\theta{2}}-{\dot{\theta{1}}\right）\end{aligned}
6.研究运动方程。经过一点简化，我们得到了这两个方程。不可能解析求解这些方程，但可以使用Mathematica、Matlab或类似软件进行数值求解。−（m1+m2）gL1sin⁡θ1=m2L1L2（θ2–cos）⁡(θ2−θ1)−θ˙22sin⁡(θ2−θ1）+（m1+m2）L12θ1¨−m2gL2sin⁡θ2=m2L1L2（θ1–cos）⁡(θ2−θ1）+θ˙12sin⁡(θ2−θ1）+m2L22θ2{\displaystyle{\begin{aligned}-（m{1}+m{2}）gL{1}\sin\theta{1}&amp={2}{{2}{2}{{2}{2}{2}{2}{{2}{{2}{{2}{{2}{{2}{{{2}{{{2}{{2}{{2}{2}{2}{1}{{1}{1}{{1}{{1}{1}{{1}{1}{{1}1}}{{1}{1}{{{{1}}{{1}1}{{{1}{{{{1}1}1}}{{{{{{1}}}}}{{{{{1}1}}}}}1}2}2}{{{2}{{{{{2}{{{{{{2}2}}}}theta{1}}\\\-m{2}gL{2}\sin\theta{2}&amp={2}{{2}{2}{{2}{2}{2}{2}{2}{{2}{2}{{2}{{2}{{2}{{2}{{2}{{2}{2}{2}{1}{1}{1}{1}{1}2}左（{\DD0\DDT T{{...........教学塔{{{{2}{{2}{2}{2}2}{{2}2}{2}2}2}2}2}2}{{2}2}{2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}2}}}}\结束{aligned}}

发表于 2022-04-30 10:21
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分类：教育

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