第1部分第1部分，共3部分：基础

1. 1了解胸罩符号。Bra-ket符号在量子力学中被广泛使用，需要一些时间才能习惯。状态由一个向量|ψ表示⟩.{\displaystyle |\psi\rangle.}我们需要一个有用的信息来表示。通常，我们会将z{\displaystyle z}轴设置为本文中要处理的状态的基础，就像我们如何选择笛卡尔坐标来表示线性动量或电场的分量一样。也可以选择其他基-例如，x{\displaystylex}轴可以很容易地作为我们描述状态|ψ的基⟩.{\displaystyle |\psi\rangle.}在z{\displaystyle z}基础上，状态可以编写如下|ψ⟩=c+|↑Z⟩+C−|↓Z⟩{\displaystyle |\psi\rangle=c{+}|\uparrow{z}\rangle+c{-}|\downarow{z}\rangle}我们可以看到，|ψ⟩{\displaystyle |\psi\rangle}以z{\displaystyle z}为基础编写，由向上和向下状态组成。这些基本元素构成了一个完整的集合，因此这两个基本元素就是描述粒子在z{\displaystyle z}方向上的自旋所需的全部元素。KET前面的常数称为概率振幅，通常是复数。描述自旋1/2粒子（以及一般量子力学中的粒子）的向量空间被称为希尔伯特空间，这基本上是一个美化的欧几里德空间。经典地说，一个粒子应该总是处于一个确定的状态——要么向上旋转，要么向下旋转。正如我们将看到的，这在量子力学中不一定是这样的——一个粒子可以同时处于两种状态的叠加状态！
2. 2以胸罩标记制作内制品。最基本的操作是内积（点积是内积）。内积⟨ϕ|ψ⟩{\displaystyle\langle\phi |\psi\rangle}由ket |ψ描述⟩{\displaystyle |\psi\rangle}由bra向量作用⟨ϕ|.{\displaystyle\langle\phi |.}您可能知道，内积结果返回标量。内积的物理意义在于它描述了初始状态为|ψ的粒子的概率振幅⟩{\displaystyle |\psi\rangle}可在状态|ñ中找到⟩.{\displaystyle |\phi\rangle.}利用内积的知识，我们现在可以写出状态|ψ⟩{\displaystyle |\psi\rangle}在内积方面。记住，当胸罩与胸罩相遇时，胸罩会形成一个支架（内部产品），因此它们只是数字|ψ⟩=|↑Z⟩⟨↑z |ψ⟩+|↓Z⟩⟨↓z |ψ⟩{\displaystyle |\psi\rangle=|\uparrow{z}\rangle\langle\uparrow{z}|\psi\rangle+|\downarrow{z}\rangle\langle\downarrow{z}\psi\rangle}
3. 3了解基向量的内积。因为基本元素是正交的，所以上升状态和下降状态的内积是0（反之亦然）。⟨↓z|↑Z⟩=⟨↑z|↓Z⟩=0{\displaystyle\langle\downarrow{z}| \uparrow{z}\rangle=\langle\uparrow{z}| \downarrow{z}\rangle=0}相反，基向量与自身的内积是1，这是由我们的标准化条件确定的。⟨↑z|↑Z⟩=⟨↓z|↓Z⟩=1{\displaystyle\langle\uparrow{z}|\uparrow{z}\rangle=\langle\downarrow{z}|\downarrow{z}\rangle=1}我们的基本元素|↑Z⟩{\displaystyle |\uparrow{z}\rangle}和|↓Z⟩{\displaystyle |\downarrow{z}\rangle}被选中，因此它们是正交的。如果我们从一个处于上升状态的粒子开始测量自旋，我们就不可能找到处于下降状态的粒子，反之亦然。然而，我们会发现，处于上升状态的粒子有100%的几率被测量为处于上升状态。由于状态是规范化的，我们期望状态与自身的内积也是1。⟨ψ|ψ⟩=1{\displaystyle\langle\psi |\psi\rangle=1}
4. 4计算概率。我们知道每一个可观测的物体都必须有一个实数，但我们只是说振幅通常是复数。为了找到实际的概率，我们取内积的模平方。任意态|ψ⟩{\displaystyle |\psi\rangle}可以在up状态下找到，表示为|⟨↑z |ψ⟩|2.{\displaystyle |\langle\uparrow{z}|\psi\rangle | ^{2}由于振幅可能是复的，所以模的平方是振幅乘以其复共轭。我们用∗{\displaystyle*}符号|⟨↑z |ψ⟩|2=⟨↑z |ψ⟩∗⟨↑z |ψ⟩{\displaystyle{124;\ langle\uparrow{z}{124;\psi\rangle{2}=\langle\uparrow{z}{124;\psi\rangle ^{*}\langle\uparrow{z}{124;\psi\rangle}

第2部分第2部分，共3部分：示例

1. 1根据需要，找出以下状态的概率，并检查其总和是否一致|ψ⟩=i3|↑Z⟩+23|↓Z⟩{\displaystyle |\psi\rangle={\frac{i}{\sqrt{3}}}}}{\124;\ uparrow{z}\rangle+{\sqrt{\frac{2}{3}}}}{124;\ downarrow{z}\rangle}
2. 2.取出内部产品。为了求出粒子在上升状态下的概率振幅，我们取上升状态和下降状态的内积。⟨↑z |ψ⟩=i3⟨↑z|↑Z⟩+23⟨↑z|↓Z⟩=i3{\displaystyle\langle\uparrow{z}{124;\ psi\rangle={\frac{i}{\sqrt{3}}}\langle\uparrow{z}{124;\ uparrow{z}\rangle+{\sqrt{3}\langle uparrow{z}{⟨↓z |ψ⟩=i3⟨↓z|↑Z⟩+23⟨↓z|↓Z⟩=23{\displaystyle\langle\downarrow{z}{124;\ psi\rangle={\frac{i}{\sqrt{3}}}}}\langle\downarrow{z}{124;\ uparrow{z}\rangle+{\sqrt{\frac{2}{3}}}}}}langle downarrow{z}}\rangle\gle={\sqrt{\frac{2}{3}}}}}}
3. 3调整振幅。概率是模的平方。记住，模的平方意味着振幅与其复共轭相乘|⟨↑z |ψ⟩|2=−i3i3=13{\displaystyle{124;\ langle\uparrow{z}{124;\ psi\rangle}{1242}={\frac{-i}{\sqrt{3}}}{\frac{i}{\sqrt{3}}}={\frac{1}{3}}|⟨↓z |ψ⟩|2=2323=23{\displaystyle{124;\ langle\downarrow{z}{124;\ psi\rangle}{2}={\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}={\frac{2}{3}}
4. 4加上概率。我们可以清楚地看到，这些概率之和为1，所以我们给定的状态是标准化的|⟨↑z |ψ⟩|2+|⟨↓z |ψ⟩|2=13+23=1{\displaystyle{\langle\uparrow{z}}{\psi\rangle{2}+{\langle\downarrow{z}{\psi\rangle{2}={\frac{1}{3}}+{\frac{2}{3}=1}

第3部分第3部分，共3部分：矩阵力学

1. 1根据列向量重新编写任意量子态。我们首先回顾了用z{\displaystyle z}基编写的任意状态|ψ⟩=|↑Z⟩⟨↑z |ψ⟩+|↓Z⟩⟨↓z |ψ⟩{\displaystyle |\psi\rangle=|\uparrow{z}\rangle\langle\uparrow{z}\124;\ psi\rangle+\124;\ downarrow{z}\rangle\langle\downarrow{z}\124;\ psi\rangle}状态|ψ⟩{\displaystyle |\psi\rangle}可以用列向量来写。回想一下，一个经典的向量，如线性动量，可以写成p=（px，py，pz），{\displaystyle\mathbf{p}=（p\ux}，p\uy}，p\uz}），在这里我们放弃了单位向量。然后可以将该向量写入列向量。然而，我们首先需要建立一个基础。我们的线性动量向量的基础从下标中可以明显看出，下标表示笛卡尔坐标。然而，在为粒子的自旋角动量写状态时，我们必须首先了解我们写状态的依据。任何基础都是好的-状态不会随着坐标的变化而变化-但表示形式会发生变化。我们可以将我们的任意状态写为如下所示，其中内积清楚地表明，我们是在z{\displaystyle z}基础上表达状态的。与在第1部分中显式写出状态一样，我们也可以在x{\displaystyle x}基础或任何其他方向上轻松写出状态|ψ⟩→(⟨↑z |ψ⟩⟨↓z |ψ⟩){\displaystyle |\psi\rangle\to{\begin{pmatrix}\langle\uparrow{z}|\psi\rangle\\\langle\downarow{u{z}\psi\rangle\end{pmatrix}
2. 2根据列向量重新编写基本元素。注意向量是多么简单|↑Z⟩=(⟨↑z|↑Z⟩⟨↓z|↑Z⟩)=（10） {\displaystyle | \uparrow{z}\rangle={\begin{pmatrix}\langle\uparrow{z}| \uparrow{z}\rangle\\ langle\downarrow{z}\uparrow{z}\rangle\end{pmatrix}={\begin pmatrix}1\\0\end pmatrix}|↓Z⟩=(⟨↑z|↓Z⟩⟨↓z|↓Z⟩)=（01）{\displaystyle}\downarrow{z}\rangle={\begin{pmatrix}\langle\uparrow{z}124;\ downarrow{z}\rangle\\\ langle\downarrow{z}\downarrow{z}\rangle\end{pmatrix}{0\\1\end pmatrix}
3. 3利用转置共轭形成bra向量。在bra-ket表示法中，内积在第二个参数（即ket向量）中是线性的，而在第一个参数（即bra向量）中是反线性的（共轭线性）。因此，在编写相应的bra时，我们必须采用转置，并采用向量中所有元素的复共轭。⟨ψ|=(⟨ψ|↑Z⟩⟨ψ|↓Z⟩)=(⟨↑z |ψ⟩∗⟨↓z |ψ⟩∗){\displaystyle\langle\psi |={\begin{pmatrix}\langle\psi |\uparrow{z}\rangle&amp；\langle\psi | \downarrow{z}\rangle\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\langle\uparrow{z}| \psi\rangle ^{*}&amp；\langle\downarrow{z}|\psi\rangle ^{*}\end{pmatrix}
4. 4使用行和列向量生成内积。内积由两个向量组成，并输出一个标量，因此当两个向量合并时，通常的矩阵乘法规则适用。让我们把状态的内积带到它自己身上。我们看到，矩阵力学的公式与我们的预期一致。⟨ψ|ψ⟩=(⟨↑z |ψ⟩∗⟨↓z |ψ⟩∗)(⟨↑z |ψ⟩⟨↓z |ψ⟩)=⟨↑z |ψ⟩∗⟨↑z |ψ⟩+⟨↓z |ψ⟩∗⟨↓z |ψ⟩=|⟨↑z |ψ⟩|2+|⟨↓z |ψ⟩|2=1{\displaystyle{\begin{aligned}\langle\psi |\psi\rangle&amp={\begin{pmatrix}\langle\uparrow{z}| \psi\rangle^{*}&amp；\langle\downarrow{z}|\psi\rangle{*}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}\langle\uparrow{z}|\psi\rangle\\\ langle\downarrow{z}|\psi\rangle end{pmatrix}\\\\\&amp=\langle\uparrow{z}| \psi\rangle ^{*}\langle\uparrow{z}| \psi\rangle+\langle\downarow{z}| \psi\rangle ^{*}\langle\downarow{z}| \psi\rangle=|\langle\uparrow{z}|\psi\rangle | ^{2}+|\langle\downarrow{z}|\psi\rangle | ^{2}=1\end{aligned}
5. 5使用矩阵力学重做示例问题。将z{\displaystyle z}基中的状态重写为列向量|ψ⟩=13（i2）{\displaystyle |\psi\rangle={\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\begin{pmatrix}i\{\sqrt{2}}}\end{pmatrix}}}计算振幅。⟨↑z |ψ⟩=（10） 13（i2）=i3{\displaystyle\langle\uparrow{z}|\psi\rangle={\begin{pmatrix}1&amp；0\end{pmatrix}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\begin{pmatrix}i\{\sqrt{2}}}\end{pmatrix}}}={\frac{i}{\sqrt{3}}}}⟨↓z |ψ⟩=（01）13（i2）=23{\displaystyle\langle\downarrow{z}|\psi\rangle={\begin{pmatrix}0&amp；1\end{pmatrix}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\begin{pmatrix}i\\{\sqrt{2}}}\end{pmatrix}={\sqrt{\frac{2}{3}}由于这些是上次发现的相同内积，因此概率将是相同的。虽然我们在本文中从未实际使用过任何矩阵，但事实证明，它们对矩阵力学至关重要，因为它们代表了运算符。例如，当自旋角动量算符S^z{\displaystyle{\hat{S}}\uz}作用于算符的本征态时，结果是本征态乘以对应于该本征态的本征值。本征值是在实验室中实际观察到的量，而应用算子的行为对应于探测器进行的测量。当仅仅计算概率时，使用矩阵力学比直接求内积没有优势。然而，在处理期望值、不确定性和本征态/本征值问题等其他主题时，为了清晰和简单，必须使用矩阵。

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