第1部分第1部分（共3部分）：傅立叶变换的性质

1. 1确定导数的傅里叶变换。一个简单的部分积分，再加上f（t）{\displaystyle f（t）}必须在两个无穷远处都消失的观察，得到了下面的答案。F{F′（t）}=∫−∞∞f′（t）e−iωtdt，u=e−iωt，v=f′（t）dt=iωf^（ω）{\displaystyle{\begin{aligned}{\mathcal{f}}}\{f^{\prime}（t）\}&amp=\int{-\infty}f{\prime}（t）e{-i\omega t}\mathrm{d}t，\\u=e{-i\omega t}，\\v=f{\prime}（t）\mathrm{d}t\\\&amp=i\omega{\hat{f}（\omega）\end{aligned}}}通常，我们可以取n{\displaystyle n}导数。F{F（n）（t）}=（iω）nf ^（ω）{\displaystyle{\mathcal{F}}\{F ^（n）}（t）}=（i\omega）^{n}{\hat{F}（\omega）}这产生了如下所述的有趣性质，这在量子力学中可能是熟悉的，因为动量算符在位置空间（左侧）和动量空间（右侧）中的形式。−iddt→ω{\displaystyle-i{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\to\omega}
2. 2确定函数乘以tn{\displaystyle t^{n}的傅里叶变换。傅里叶变换的对称性给出了频率空间中的类似性质。我们将首先处理n=1{\displaystylen=1}，然后进行泛化。F{tf（t）}=∫−∞∞tf（t）e−iωtdt=∫−∞∞我∂∂ω（e−iωt）f（t）dt=iddωf ^（ω）{\显示样式{\开始{对齐}{\数学{f}}}{tf（t）}&amp=\int{-\infty}^{\infty}tf（t）e^{-i\omega t}\mathrm{d}t\\&amp=\int{-\infty}{\infty}i{\frac{\partial}{\partial\omega}}（e{-i\omega t}）f（t）\mathrm{d}t\\&amp=i{\frac{\mathrm{d}{\mathrm{d}\omega}{\hat{f}（\omega）\end{aligned}}通常，我们可以乘以tn.{\displaystyle t^{n}F{tnf（t）}=indndωnf ^（ω）{\displaytyle{\mathcal{F}}}{t ^{n}F（t）}=i ^{n}{\frac{\mathrm{d}{\mathrm{d}\omega ^{n}}}{\hat{F}（\omega）}我们立即得到以下结果。这是变量t{\displaystyle t}和s{\displaystyle s}iddω之间的拉普拉斯变换无法完全实现的对称性→t{\displaystyle i{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}}\to t}
3. 3确定函数乘以eiat{\displaystyle e ^{iat}}的傅里叶变换。在时域中乘以eiat{\displaystyle e^{iat}对应于频域中的移位。F{eiatf（t）}=∫−∞∞f（t）e−i（ω）−a） tdt=f^（ω−a） {\displaystyle{\mathcal{F}}{e^{iat}F（t）\}=\int{-\infty}{\infty}F（t）e^{-i（\omega-a）t}\mathrm{d}t={\hat{F}（\omega-a）}
4. 4确定移位函数f（t）的傅里叶变换−c） {\displaystyle f（t-c）}。时间域中的移位对应于乘法−频域中的iωc{\displaystyle e^{-i\omega c}}，这再次说明了t{\displaystyle t}和ω之间的对称性。{\displaystyle\omega.}我们可以使用一个简单的替换来轻松评估这一点。F{F（t−c） }=∫−∞∞f（t）−c） e类−iωtdt=∫−∞∞f（t）e−iω（t+c）dt=e−iωcf ^（ω）{\显示样式{\开始{对齐}{\数学{F}}}{F（t-c）}}&amp=\int{-\infty}^{\infty}f（t-c）e{-i\omega t}\mathrm{d}t\\&amp=\int{-\infty}^{\infty}f（t）e ^{-i\omega（t+c）}\mathrm{d}t\\&amp=e^{-i\omega c}{\hat{f}（\omega）\end{aligned}}
5. 5确定拉伸函数f（ct）{\displaystyle f（ct）}的傅里叶变换。拉普拉斯变换中的拉伸特性与傅里叶变换中的类似。F{F（ct）}=∫−∞∞f（ct）e−iωtdt，u=ct=1 | c|∫−∞∞f（u）e−iωu/cdu=1 | c | f ^（ωc）{\显示样式{\开始{对齐}{\数学{f}}}{f（ct）}&amp=\int{-\infty}^{\infty}f（ct）e ^{-i\omega t}\mathrm{d}t，\quad u=ct\\&amp={\frac{1}{c}}\int{-\infty}^{\infty}f（u）e ^{-i\omega u/c}\mathrm{d}u\\&amp={\frac{1}{c}}{\hat{f}}\left（{\frac{\omega}{c}}}\right）\end{aligned}}
6. 6确定两个函数卷积的傅立叶变换。与拉普拉斯变换一样，实空间中的卷积对应于傅里叶空间中的乘法。F{F（t）∗g（t）}=∫−∞∞E−iωtdt∫−∞∞f（t）−y） g（y）dy，u=t−y=∫−∞∞E−iω（u+y）du∫−∞∞f（u）g（y）dy=∫−∞∞f（u）e−iωudu∫−∞∞g（y）e−iωydy=f^（ω）g^（ω）{\displaystyle{\begin{aligned}{\mathcal{f}}}{f（t）*g（t）\}&amp=\int{-\infty}^{\infty}e ^{-i\omega t}\mathrm{d}t\int{-\infty}^{\infty}f（t-y）g（y）\mathrm{d}y，\quad u=t-y\\&amp=\int{-\infty}e{i\omega（u+y）}\mathrm{d}u\int{-\infty}f（u）g（y）\ mathrm{d}y\\\&amp=\int{-\infty}^{\infty}f（u）e ^{-i\omega u}\mathrm{d}u\int{-\infty}^{\infty}g（y）e ^{-i\omega y}\mathrm{d}y\\&amp={\hat{f}（\omega）{\hat{g}（\omega）\end{aligned}}
7. 7确定奇偶函数的傅里叶变换。奇偶函数具有特殊的对称性。我们使用欧拉公式得出这些结果，并了解奇偶函数是如何相乘的。因为{cos}的{cos}是偶数形式的Fourier变换{cos}⁡ωt.{\displaystyle\cos\omega t.}此外，如果fe（t）{\displaystyle f\uu{e}（t）}是实数，则其傅里叶变换也是实数。F{fe（t）}=∫−∞∞fe（t）（cos⁡tω−伊辛⁡ωt）dt=2∫0∞fe（t）cos⁡ωtdt{\displaystyle{\begin{aligned}{\mathcal{F}}\{F{e}（t）\}&amp=\int{-\infty}^{\infty}f{e}（t）\left（\cos\omega t-i\sin\omega t\right）\mathrm{d}t\\&amp=2\int{0}^{\infty}f{e}（t）\cos\omega t\mathrm{d}t\end{aligned}}奇数函数的傅里叶变换fo（t）{\displaystyle f{o}（t）}也是奇数，因为由于sin⁡ωt.{\displaystyle\sin\omega t.}此外，如果fo（t）{\displaystyle f\uo}（t）}是实的，那么它的傅立叶变换是纯虚的。F{fo（t）}=∫−∞∞fo（t）（cos）⁡tω−伊辛⁡ωt）dt=−2i∫0∞罪⁡ωtdt{\displaystyle{\begin{aligned}{\mathcal{F}}}{F\uo}（t）\}&amp=\int{-\infty}^{\infty}f{o}（t）\left（\cos\omega t-i\sin\omega t\right）\mathrm{d}t\\\&amp=-2i\int{0}^{\infty}f\u{o}（t）\sin\omega t\mathrm{d}t\end{aligned}}

• 傅里叶变换还有两种常用的约定。定义π积分的{2}的Fourier-split-factor。结果是变换之间的对称性更强。f^（ω）=12π∫−∞∞f（t）e−iωtdt{\displaystyle{\hat{f}（\omega）={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int{-\infty}f（t）e^{-i\omega t}\mathrm{d}t}f（t）=12π∫−∞∞f ^（ω）eiωtdω{\displaystyle f（t）={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}}\int{-\infty}{\infty}{\hat{f}}（\omega）e ^{i\omega t}\mathrm{d}\omega}其他使用与角频率ω=2πξ相关的正常频率变量ξ{\displaystyle xi是的。{\displaystyle\omega=2\pi\xi.}f^（ξ）=∫−∞∞f（t）e−i2πξtdt{\displaystyle{\hat{f}（\xi）=\int{-\infty}f（t）e^{-i2\pi\xi t}\mathrm{d}t}f（t）=∫−∞∞f^（ξ）ei2πξtdξ{\displaystyle f（t）=\int{-\infty}{\infty}{\hat{f}}（\xi）e^{i2\pi\xi t}\mathrm{d}\xi