確率分布関数と確率密度関数

確率とは、ある事象が発生する可能性のことである。今の時代、私たちは他人との付き合いの中で、何かとチャンスを多く使うことが多い。この単純な概念をより大きなイベントの集合に拡張することは、より困難な問題である。例えば、宝くじが当たる確率を計算するのは簡単ではありませんが、「6分の1の確率でサイコロが出る」というのは便利で、かなり直感的に理解できます。

このような単純な確率の概念は、起こりうる事象の数が増えてきたり、個々の可能性の数が大きくなったりすると破綻する。したがって、より複雑な問題を扱う前に、しっかりとした数学的定義を行うことが重要である。

一つの状況下で起こりうる事象の数が多い場合、サイコロの目の例のように一つ一つの事象を個別に検討することはできない。そこで、乱数変数の概念を導入することで、事象の全体像がまとめられる。与えられた状況（またはサンプル空間）において、異なる事象の値を想定する変数である。状況の中の単純な事象に数学的な意味を与え、それに対処する数学的な方法を与えるものである。より正確には、確率変数は標本空間の要素上の実数値の関数である。確率変数には、離散的なものと連続的なものがあります。通常、英語のアルファベットの大文字で表されます。

確率分布関数（または単に確率分布）とは、各事象に確率値を割り当てる関数、つまり、確率変数が取り得る値について確率の関係を提供するものである。離散的な確率変数の確率分布関数が定義されている。

確率密度関数とは、連続した確率変数の確率分布関数に相当するもので、ある確率変数がある値をとる確率を与えるものである。

Xを離散的な確率変数としたとき、Xの範囲内の各Xについてf(X) = P(X = X)で与えられる関数を確率分布関数と呼びます。ある関数が確率分布関数として使用できるのは、次の条件を満たす場合のみである。

1f(x) ≥ 0

2∑f(x)=1

実数の集合上で定義された関数f(x)は、以下の場合に限り、連続確率変数xの確率密度関数と呼ばれます。

P(a ≦ x ≦ b) = a∫b f(x)dx 任意の実数定数aおよびbに対して。

また、確率密度関数は以下の条件を満たす必要がある。

1f(x) ≧ 0 すべてのx:-∞<x<+∞に対して

2-∞∫+∞f(x)dx=1

確率分布関数と確率密度関数は、ともに標本空間上の確率の分布を表すために用いられ、通常、これらは確率分布と呼ばれる。

統計モデリングについては、標準的な確率密度関数と確率分布関数が導出されている。連続確率分布の例として、正規分布と標準正規分布がある。離散確率分布の例として、二項分布とポアソン分布がある。

確率分布と確率密度関数の違いは何ですか？

-確率分布関数や確率密度関数は、各要素に該当する確率値を割り当てるために標本空間で定義される関数です。

-確率分布関数は離散的な確率変数について、確率密度関数は連続的な確率変数について定義されています。

-確率値の分布（＝確率分布）は、確率密度関数と確率分布関数によって最もよく記述されます。

-確率分布関数は表の値で表現できるが、確率密度関数は変数が連続であるため、表現できない。

-プロットすると、確率分布関数は棒グラフに、確率密度関数は曲線になります。

-確率分布関数バーの高さ/長さを1、確率密度関数曲線下の面積を1として加算すること。