離散関数と連続関数

関数は数学のオブジェクトの中で最も重要なクラスであり、数学のほとんどすべてのサブフィールドで広く使用されています。離散関数と連続関数は、その名前が示すように、どちらも特殊な2種類の関数である。

関数とは、2つの集合の間で、第1の集合の各要素に対して、第2の集合でそれに対応する値が一意になるように定義される関係である。したがって、関数aのxが一意であれば、fはaのxに等しい。 この集合Aを関数fのドメインと呼び、関数を定義する集合である。

例えば、RからRへの関係fが、各x ϵ Aに対してf (x) = x + 2で定義されているとする。これは領域Rを持つ関数で、各実数xとyに対して、x = yはf (x) = x + 2 = y + 2 = f (y)を意味します。しかし、g(x)=a（'a'はxの素因数）で定義されるNからNへの関係gは、g(6)=3やg(6)=2の関数では無いのです。

離散関数とは何ですか？

離散関数とは、定義域が最大でも可算である関数のことで、簡単に言えば、定義域のすべての要素を含むリストを作ることが可能であることを意味します。

どんな有限の集合でも、せいぜい数えられる程度である。自然数の集合と有理数の集合は、可算無限集合までの例である。実数の集合と無理数の集合はせいぜい数え切れない程度である。いずれも数え切れないほどの集合です。つまり、これらの集合の要素をすべて含むリストを作ることはできない。

f:nu{0}→Nはf (N) = nf (N-1)で再帰的に定義され、N≧1かつf (0) = 1のとき階乗関数と呼ばれる。なお、その領域nu{0}は最大でも可算である。

連続関数とは？

fの領域内のすべてのkについてf (x) → f (k)となるような関数をfとすると、fは連続関数である。つまり、xをf（k）に十分に近づけることで、f（x）をf（k）にぴったり近づけることができるのです。

R上の関数f(x)=x + 2を考えると、x → k、x + 2 → k + 2、すなわちf(x) → f(k)となることがわかる。したがって、fは連続関数である。ここで、正の実数g(x)=1、x & gt; 0ならg(x)=0と考える。すると、x → 0なのでg(x)の極限は存在しない（つまりg(0)と一致しない）ため、この関数は連続関数ではない。