実数と虚数

数とは、数え上げたり測ったりするために使われる数学的な物体です。その定義は、ゼロ、負数、有理数、無理数、虚数の追加により、年々変化している。数システムの抽象的な基礎には群、環、領域などの代数的な構造が含まれるが、ここでは直感的な概念のみを示す。

実数とは何か？

非公式には、実数とはその二乗が負でない数である。数学の表記では、実数の集合を表す記号としてRを用いる。より厳密には、実数の集合は、二項演算の+とandを用いて、一意で完全に順序付けられた領域として導入することができる。と順序関係 < があります。この順序関係は三項法則に従う。すなわち、二つの実数xとyが与えられたとき、x> y, x< y, x = yの三つの実数のうち一つだけが成立する。

実数は、係数が整数の多項式方程式の根であるかどうかによって、代数的であるか超越的であるかが決まります。また、実数は2つの整数の比として表現できるかどうかで、有理数にも無理数にもなります。例えば、2.5は代数的で有理的な実数だが、は非有理的で超越的な数である。

実数の集合は完全である。これは、上に束縛された実数の空でない部分集合には、最小の上界が存在することを意味し、そこから下に束縛された実数の空でない部分集合には、最大の下界が存在することになる。これにより、実数の集合と有理数の集合は区別される。実数の集合は、不合理である不完全な有理数の集合の隙間を埋めることによって作られると言えるでしょう。

虚数とは何ですか？

虚数とは、二乗が負になる数のことです。つまり、√(-1)、√(-100)、√(-e)などの数は虚数である。すべての虚数は、iを「虚数単位」√(-1)、aを0以外の実数として、a iと書くことができる。(ただし、i2=-1)。これらの数字は現実には存在しないように見え、定義上も存在しないが、航空、電子、工学など、現実世界の重要なアプリケーションで多く使用されている。