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私たちは日常生活の中で、不確かなものに遭遇することがあります。例えば、買った宝くじが当たる確率や、応募した仕事が当たる確率などです。確率の基礎理論は、何かが起こる可能性を数学的に判断するために使われます。確率は常にランダムな実験と関連している。ある実験の結果が事前に予測できない場合、いくつかの可能性のある結果を持つ実験を無作為化実験と呼びます。依存事象と独立事象は、確率論で使われる用語である。

事象Bの発生確率が、事象Aの発生の有無に影響されない場合、事象Bは事象Aから独立しているという。簡単に言えば、ある事象の結果が他の事象の発生確率に影響を与えない場合、2つの事象は独立であると言えます。同様に、P(A) = P(A | B)であれば、AはBから独立している。ここで、P(A | B)は、Bが発生したと仮定した場合の条件付き確率Aを表す。2つのサイコロを振ったとき、片方の出た目がもう片方の出た目に影響することはない。

標本空間Sにおける任意の二つの事象A、Bについて、Bが発生したと仮定した場合のAの条件付き確率はP（A｜B）＝P（A∩B）／P（B）である。したがって、事象Aが事象Bから独立している場合、P（A）＝P（A｜B）は、P（A∩B）＝P（A）×P（B）を意味することになる。同様に、P（B）＝P（B｜A）であれば、P（A∩B）＝P（A）×P（B）が成立する。したがって、P(A∩B) = P(A) x P(B) という条件が成立するときにのみ、2つの事象AとBは独立であると結論づけることができる。

ダイスを振って、同時にコインをはじいたとする。そして、すべての可能な結果の集合またはサンプル空間は、S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)} となります。頭が出る事象をAとすると、事象Aの確率P(A)は6/12または1/2で、ダイスで3の倍数が出る事象をBとする。つまり、P(B) = 4/12 = 1/3 となり、どちらの事象も他方の事象の発生に影響を及ぼさない。したがって、この2つの事象は独立している。集合 (A∩B) = {(3, H), (6, H)}なので、ダイスで頭と3の倍数が出る事象の確率、すなわちP(A∩B)は2/12か1/6となります。 P(A)×P(B) も1/6となり、事象A、Bとも条件を満たすのでA、Bは独立事象ということが言えます。

ある事象の結果が別の事象の結果に影響される場合、その事象は従属的であると言われます。

赤玉3個、白玉2個、緑玉2個が入ったパケットがあるとする。白球をランダムに引く確率は2/7である。 緑球を引く確率は？2/7なのか？

しかし、最初に取り除いた球を入れ替えなければ、袋の中には 6 個の球しかないので、緑の球を引く確率は 2/6 または 1/3 になります。 したがって、最初の事象が 2 番目の事象に影響を与えるので、2 番目の事象は依存関係にあります。