什麼是四分位數(a quartile)？

四分位數是一個統計術語，它描述了根據資料值將觀測值劃分為四個定義的區間，以及它們與整個觀測值集的比較。

理解四分位數

要理解四分位數，重要的是要理解中位數作為中心趨勢的度量。統計學中的中值是一組數字的中間值。在這個點上，正好有一半的資料位於中心值的下方和上方。

所以，給定一組13個數字，中位數就是第七個數字。此值前面的六個數字是資料中的最低數字，中間值後面的六個數字是給定資料集中的最高數字。因為中位數不受分佈中的極值或異常值的影響，所以它有時比平均值更受歡迎。

中位數是一個穩健的位置估計器，但它並沒有說明其值的兩邊的資料是如何傳播或分散的。這就是四分位數的作用。四分位數透過將分佈分為四組來測量平均值上下的值的分佈。

關鍵要點

• 四分位數透過將分佈分為四組來測量平均值上下的值的分佈。
• 四分位數將資料分為三個點：下四分位數、中位數和上四分位數，形成四組資料集。
• 四分位數用於計算四分位數間的範圍，這是一種測量中位數附近的變**的度量。

四分位數的工作原理

正如中位數將資料分成一半，使50%的測量值低於中位數，50%的測量值高於中位數一樣，四分位數將資料分成四分之一，使25%的測量值低於下四分位數，50%的測量值低於中位數，75%的測量值低於上四分位數。

四分位數將資料分為三個點：下四分位數、中位數和上四分位數，形成四組資料集。下四分位數或第一四分位數表示為Q1，是介於資料集最小值和中間值之間的中間數。第二個四分位數Q2也是中位數。上四分位數或第三個四分位數，表示為Q3，是分佈中位數和最高值之間的中心點。

現在，我們可以畫出由四分位陣列成的四組。第一組值包含到Q1為止的最小值；第二組包括Q1至中位數；第三組是Q3的中位數；第四類包括Q3到整個集合的最高資料點。

每個四分位數包含總觀察值的25%。一般來說，資料是從最小到最大排列的：

1. 第一個四分位數：數字中最低的25%
2. 第二個四分位數：介於25.1%和50%之間（中位數）
3. 第三個四分位數：50.1%至75%（高於中位數）
4. 第四個四分位數：數字中最高的25%

四分位數示例

假設一個由19名學生組成的班級的數學分數按升序分佈為：

• 59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

首先，記下中間值Q2，在本例中是第10個值：75。

Q1是最小分數和中位數之間的中心點。在這種情況下，Q1介於第一和第五個分數之間：68。（註意，在計算一組奇數值的Q1或Q3時，也可以包括中間值。）。如果我們將中間點兩邊的中間值包括在內，那麼Q1將是第一和第十個分數之間的中間值，即第五和第六個分數的平均值-（第五+第六）/2=（68+69）/2=68.5）。

Q3是Q2和最高分之間的中間值：84（或者如果包括中間值，Q3=（82+84）/2=83）。

現在我們有了四分位數，讓我們來解釋它們的數字。68分（Q1）代表第一個四分位數，是第25個百分位數。68是可用資料中設定的分數下半部分的中位數，即59到75之間的分數中位數。

Q1告訴我們，25%的分數低於68分，75%的班級分數高於68分。Q2（中位數）是第50個百分位數，顯示50%的分數低於75分，50%的分數高於75分。最後，Q3（中位數）顯示25%的分數高於75分，75%的分數低於84分。

特別註意事項

如果Q1的資料點離中值的距離比Q3離中值的距離遠，那麼我們可以說資料集較小值之間的離散度大於較大值之間的離散度。如果Q3與Q2的距離遠於Q1與中值的距離，則同樣的邏輯也適用。

或者，如果有偶數個資料點，中位數將是中間兩個數字的平均值。在我們上面的例子中，如果我們有20個學生而不是19個，他們的分數中位數將是第10個和第11個數字的算術平均數。

四分位數用於計算四分位數間的範圍，這是一種測量中位數附近的變**的度量。四分位數範圍簡單地計算為第一個和第三個四分位數之間的差值：Q3–Q1。實際上，正是資料的中半部分的範圍顯示了資料的傳播方式。

對於大型資料集，microsoftexcel有一個四分位數函式來計算四分位數。