什么是四分位数(a quartile)？

四分位数是一个统计术语，它描述了根据数据值将观测值划分为四个定义的区间，以及它们与整个观测值集的比较。

理解四分位数

要理解四分位数，重要的是要理解中位数作为中心趋势的度量。统计学中的中值是一组数字的中间值。在这个点上，正好有一半的数据位于中心值的下方和上方。

所以，给定一组13个数字，中位数就是第七个数字。此值前面的六个数字是数据中的最低数字，中间值后面的六个数字是给定数据集中的最高数字。因为中位数不受分布中的极值或异常值的影响，所以它有时比平均值更受欢迎。

中位数是一个稳健的位置估计器，但它并没有说明其值的两边的数据是如何传播或分散的。这就是四分位数的作用。四分位数通过将分布分为四组来测量平均值上下的值的分布。

关键要点

• 四分位数通过将分布分为四组来测量平均值上下的值的分布。
• 四分位数将数据分为三个点：下四分位数、中位数和上四分位数，形成四组数据集。
• 四分位数用于计算四分位数间的范围，这是一种测量中位数附近的变**的度量。

四分位数的工作原理

正如中位数将数据分成一半，使50%的测量值低于中位数，50%的测量值高于中位数一样，四分位数将数据分成四分之一，使25%的测量值低于下四分位数，50%的测量值低于中位数，75%的测量值低于上四分位数。

四分位数将数据分为三个点：下四分位数、中位数和上四分位数，形成四组数据集。下四分位数或第一四分位数表示为Q1，是介于数据集最小值和中间值之间的中间数。第二个四分位数Q2也是中位数。上四分位数或第三个四分位数，表示为Q3，是分布中位数和最高值之间的中心点。

现在，我们可以画出由四分位数组成的四组。第一组值包含到Q1为止的最小值；第二组包括Q1至中位数；第三组是Q3的中位数；第四类包括Q3到整个集合的最高数据点。

每个四分位数包含总观察值的25%。一般来说，数据是从最小到最大排列的：

1. 第一个四分位数：数字中最低的25%
2. 第二个四分位数：介于25.1%和50%之间（中位数）
3. 第三个四分位数：50.1%至75%（高于中位数）
4. 第四个四分位数：数字中最高的25%

四分位数示例

假设一个由19名学生组成的班级的数学分数按升序分布为：

• 59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

首先，记下中间值Q2，在本例中是第10个值：75。

Q1是最小分数和中位数之间的中心点。在这种情况下，Q1介于第一和第五个分数之间：68。（注意，在计算一组奇数值的Q1或Q3时，也可以包括中间值。）。如果我们将中间点两边的中间值包括在内，那么Q1将是第一和第十个分数之间的中间值，即第五和第六个分数的平均值-（第五+第六）/2=（68+69）/2=68.5）。

Q3是Q2和最高分之间的中间值：84（或者如果包括中间值，Q3=（82+84）/2=83）。

现在我们有了四分位数，让我们来解释它们的数字。68分（Q1）代表第一个四分位数，是第25个百分位数。68是可用数据中设置的分数下半部分的中位数，即59到75之间的分数中位数。

Q1告诉我们，25%的分数低于68分，75%的班级分数高于68分。Q2（中位数）是第50个百分位数，显示50%的分数低于75分，50%的分数高于75分。最后，Q3（中位数）显示25%的分数高于75分，75%的分数低于84分。

特别注意事项

如果Q1的数据点离中值的距离比Q3离中值的距离远，那么我们可以说数据集较小值之间的离散度大于较大值之间的离散度。如果Q3与Q2的距离远于Q1与中值的距离，则同样的逻辑也适用。

或者，如果有偶数个数据点，中位数将是中间两个数字的平均值。在我们上面的例子中，如果我们有20个学生而不是19个，他们的分数中位数将是第10个和第11个数字的算术平均数。

四分位数用于计算四分位数间的范围，这是一种测量中位数附近的变**的度量。四分位数范围简单地计算为第一个和第三个四分位数之间的差值：Q3–Q1。实际上，正是数据的中半部分的范围显示了数据的传播方式。

对于大型数据集，microsoftexcel有一个四分位数函数来计算四分位数。