投资者喜欢关注高回报的承诺，但他们也应该问，为了获得这些回报，他们必须承担多大的风险。虽然我们经常从一般意义上讲风险，但也有风险报酬关系的正式表达。

例如，夏普比率衡量每单位风险的超额回报，其中风险被计算为波动率，这是一种传统和流行的风险度量。它的统计特性是众所周知的，它被引入了一些框架，如现代投资组合理论和Black-Scholes模型。在本文中，我们研究波动性，以了解其用途和局限性。

年化标准差

与隐含波动率属于期权定价理论，是基于市场共识的前瞻性估计不同，规则波动率是向后看的。具体来说，就是历史收益的年化标准差。

依赖标准差的传统风险框架通常假设收益符合正态钟形分布。正态分布给我们提供了方便的指导：大约三分之二的时间（68.3%），回报率应该在一个标准差（+/-）之内；95%的时候，回报率应该在两个标准差之内。正态分布图的两个性质是细尾巴和完全对称。窄尾意味着回报率与平均值相差超过三个标准差的几率非常低（约为0.3%）。对称性意味着上行收益的频率和幅度是下行损失的镜像。

因此，传统的模型将所有不确定性视为风险，而不考虑方向。正如许多人所表明的那样，如果回报率不对称，那就是一个问题——投资者担心自己的损失在平均水平的“左边”，但他们不担心收益在平均水平的右边。

下面我们用两个虚构的股票来说明这个怪癖。下跌的股票（蓝线）完全没有分散性，因此产生的波动率为零，但上涨的股票，因为它表现出几次上行冲击，但没有一次下跌产生10%的波动率（标准差）。

理论性质

例如，当我们计算标准普尔500指数的波动率时；截至2004年1月31日，p500指数从14.7%到21.1%不等。为什么会有这样的范围？因为我们必须选择一个时间间隔和一个历史时期。在时间间隔方面，我们可以收集一系列每月、每周或每日（甚至每日内）的回报。而我们的一系列回报可以追溯到任何长度的历史时期，比如三年、五年或十年。下面，我们计算了S&amp；使用三种不同的时间间隔，在10年内计算P 500：

请注意，波动性会随着时间间隔的增加而增加，但几乎不是成比例的：每周的波动率不是每日波动率的近5倍，每月的波动率也不是每周波动率的近4倍。我们已经到达了随机游走理论的一个关键方面：标准差标度（增加）与时间的平方根成比例。因此，如果日标准差为1.1%，如果一年中有250个交易日，则年化标准差为1.1%的日标准差乘以250的平方根（1.1%x15.8=18.1%）。知道了这一点，我们就可以对S&amp；的区间标准差进行年化；p500乘以一年中间隔数的平方根：

波动性的另一个理论属性可能会也可能不会让你感到惊讶：它会侵蚀回报。这是由于随机游走思想的关键假设：回报率以百分比表示。想象一下，你从100美元开始，然后得到10%得到110美元，然后你损失10%，这样你就得到了99美元（110 x 90%=99美元）。然后你再次获得10%，净赚108.90美元（99 x 110%=108.9美元）。最后，你输了10%，净赚98.01美元。这可能是违反直觉的，但你的本金正在慢慢侵蚀，即使你的平均收益是0%！

例如，如果你预期平均年收益为10%（即算术平均值），那么你的长期预期收益就不到10%。事实上，它将减少大约一半的方差（方差是标准差的平方）。在下面的纯假设中，我们从100美元开始，然后想象五年的波动以157美元结束：

五年的平均年回报率为10%（15%+0%+20%-5%+20%=50%）÷ 5=10%），但复合年增长率（复合年增长率，或几何回报率）是一个更准确的衡量已实现收益的指标，仅为9.49%。波动性侵蚀了结果，差异约为1.1%方差的一半。这些结果并不是来自一个历史的例子，而是在给定一个σ\西格玛σ (方差是标准差的平方），σ2\西格玛^{2}σ2 预期平均收益μ\亩μ 预期年化收益率约为μ−(σ2÷2） .\mu-（\sigma^2\div2）。μ−(σ2÷2).

回报是否表现良好？理论框架无疑是优雅的，但它取决于表现良好的回报。即，正态分布和随机游走（即从一个周期到下一个周期的独立性）。这与现实相比如何？在过去10年中，我们为S&amp；基金收集了每日回报；500点和纳斯达克指数以下（每日观察约2500点）：

如你所料，纳斯达克指数的波动率（年化标准差为28.8%）大于标准普尔500指数的波动率（年化标准差为18.1%）。我们可以观察到正态分布和实际收益之间的两个差异。首先，实际回报有更高的峰值-这意味着更大的优势回报接近平均水平。第二，实际回报率的尾部更大(我们的发现在某种程度上与更广泛的学术研究一致，这些研究也倾向于发现高峰和厚尾；这个术语叫峰度。假设我们认为负三个标准差是一个巨大的损失：s&amp；p500指数的日损失率为负三个标准差，约为-3.4%。正常曲线预测这样的损失在10年内会发生3次，但实际上发生了14次！

这些都是独立区间收益率的分布，但理论对收益率随时间的变化有何解释？作为测试，让我们看看标准普尔500指数的实际日分布。在这种情况下，平均年回报率（过去10年）约为10.6%，如前所述，年化波动率为18.1%。在这里，我们进行了一个假设性试验，从100美元开始，持有10年，但我们将每年的投资暴露在一个随机结果中，平均值为10.6%，标准偏差为18.1%。这个试验进行了500次，这就是所谓的蒙特卡罗模拟。500次试验的最终价格结果如下：

正态分布仅用于强调非常非正态的价格结果。从技术上讲，最终的价格结果是对数正态分布（这意味着，如果x轴转换为x的自然对数，则分布看起来更为正态）。关键是，有几个价格结果是正确的：在500个试验中，有6个结果产生了700美元的期末结果！这些珍贵的少数成果在10年内，每年平均收益超过20%。在左边，由于余额递减减少了百分比损失的累积影响，我们只得到了少数低于50美元的最终结果。总结一个困难的想法，我们可以说以百分比表示的区间收益率是正态分布的，但最终价格结果是对数正态分布的。

最后，我们试验的另一个发现与波动性的“侵蚀效应”是一致的：如果你的投资每年获得的收益恰好是平均值，那么到最后你将持有约273美元（10年的复合收益率为10.6%）。但在这个实验中，我们的总体预期收益接近250美元，换句话说，平均（算术）年收益为10.6%，但累积（几何）收益较少。

关键是要记住，我们的模拟假设一个随机游走：它假设从一个周期到下一个周期的回报是完全独立的。我们没有用任何方法证明这一点，这不是一个微不足道的假设。如果你相信收益率遵循趋势，那么从技术上讲，你是说它们显示出正的序列相关性。如果你认为他们恢复到平均值，那么从技术上说，你是说他们显示负序列相关。这两种立场都不符合独立。

底线波动率是回报的年化标准差。在传统的理论框架下，它不仅度量风险，而且影响长期（多期）收益预期。因此，它要求我们接受区间收益是正态分布和独立的可疑假设。如果这些假设是真的，那么高波动性就是一把双刃剑：它侵蚀了你预期的长期回报（它将算术平均值降低到几何平均值），但它也为你提供了更多的机会，让你获得一些大的收益。