投資者喜歡關註高回報的承諾，但他們也應該問，為了獲得這些回報，他們必須承擔多大的風險。雖然我們經常從一般意義上講風險，但也有風險報酬關係的正式表達。

例如，夏普比率衡量每單位風險的超額回報，其中風險被計算為波動率，這是一種傳統和流行的風險度量。它的統計特性是眾所周知的，它被引入了一些框架，如現代投資組合理論和Black-Scholes模型。在本文中，我們研究波動性，以瞭解其用途和侷限性。

年化標準差

與隱含波動率屬於期權定價理論，是基於市場共識的前瞻性估計不同，規則波動率是向後看的。具體來說，就是歷史收益的年化標準差。

依賴標準差的傳統風險框架通常假設收益符合正態鐘形分佈。正態分佈給我們提供了方便的指導：大約三分之二的時間（68.3%），回報率應該在一個標準差（+/-）之內；95%的時候，回報率應該在兩個標準差之內。正態分佈圖的兩個性質是細尾巴和完全對稱。窄尾意味著回報率與平均值相差超過三個標準差的幾率非常低（約為0.3%）。對稱性意味著上行收益的頻率和幅度是下行損失的映象。

因此，傳統的模型將所有不確定性視為風險，而不考慮方向。正如許多人所表明的那樣，如果回報率不對稱，那就是一個問題——投資者擔心自己的損失在平均水平的“左邊”，但他們不擔心收益在平均水平的右邊。

下麵我們用兩個虛構的股票來說明這個怪癖。下跌的股票（藍線）完全沒有分散性，因此產生的波動率為零，但上漲的股票，因為它表現出幾次上行衝擊，但沒有一次下跌產生10%的波動率（標準差）。

理論性質

例如，當我們計算標準普爾500指數的波動率時；截至2004年1月31日，p500指數從14.7%到21.1%不等。為什麼會有這樣的範圍？因為我們必須選擇一個時間間隔和一個歷史時期。在時間間隔方面，我們可以收集一系列每月、每週或每日（甚至每日內）的回報。而我們的一系列回報可以追溯到任何長度的歷史時期，比如三年、五年或十年。下麵，我們計算了S&amp；使用三種不同的時間間隔，在10年內計算P 500：

請註意，波動性會隨著時間間隔的增加而增加，但幾乎不是成比例的：每週的波動率不是每日波動率的近5倍，每月的波動率也不是每週波動率的近4倍。我們已經到達了隨機遊走理論的一個關鍵方面：標準差標度（增加）與時間的平方根成比例。因此，如果日標準差為1.1%，如果一年中有250個交易日，則年化標準差為1.1%的日標準差乘以250的平方根（1.1%x15.8=18.1%）。知道了這一點，我們就可以對S&amp；的區間標準差進行年化；p500乘以一年中間隔數的平方根：

波動性的另一個理論屬性可能會也可能不會讓你感到驚訝：它會侵蝕回報。這是由於隨機遊走思想的關鍵假設：回報率以百分比表示。想象一下，你從100美元開始，然後得到10%得到110美元，然後你損失10%，這樣你就得到了99美元（110 x 90%=99美元）。然後你再次獲得10%，凈賺108.90美元（99 x 110%=108.9美元）。最後，你輸了10%，凈賺98.01美元。這可能是違反直覺的，但你的本金正在慢慢侵蝕，即使你的平均收益是0%！

例如，如果你預期平均年收益為10%（即算術平均值），那麼你的長期預期收益就不到10%。事實上，它將減少大約一半的方差（方差是標準差的平方）。在下麵的純假設中，我們從100美元開始，然後想象五年的波動以157美元結束：

五年的平均年回報率為10%（15%+0%+20%-5%+20%=50%）÷ 5=10%），但複合年增長率（複合年增長率，或幾何回報率）是一個更準確的衡量已實現收益的指標，僅為9.49%。波動性侵蝕了結果，差異約為1.1%方差的一半。這些結果並不是來自一個歷史的例子，而是在給定一個σ\西格瑪σ (方差是標準差的平方），σ2\西格瑪^{2}σ2 預期平均收益μ\畝μ 預期年化收益率約為μ−(σ2÷2） .\mu-（\sigma^2\div2）。μ−(σ2÷2).

回報是否表現良好？理論框架無疑是優雅的，但它取決於表現良好的回報。即，正態分佈和隨機遊走（即從一個週期到下一個週期的獨立性）。這與現實相比如何？在過去10年中，我們為S&amp；基金收集了每日回報；500點和納斯達克指數以下（每日觀察約2500點）：

如你所料，納斯達克指數的波動率（年化標準差為28.8%）大於標準普爾500指數的波動率（年化標準差為18.1%）。我們可以觀察到正態分佈和實際收益之間的兩個差異。首先，實際回報有更高的峰值-這意味著更大的優勢回報接近平均水平。第二，實際回報率的尾部更大(我們的發現在某種程度上與更廣泛的學術研究一致，這些研究也傾向於發現高峰和厚尾；這個術語叫峰度。假設我們認為負三個標準差是一個巨大的損失：s&amp；p500指數的日損失率為負三個標準差，約為-3.4%。正常曲線預測這樣的損失在10年內會發生3次，但實際上發生了14次！

這些都是獨立區間收益率的分佈，但理論對收益率隨時間的變化有何解釋？作為測試，讓我們看看標準普爾500指數的實際日分佈。在這種情況下，平均年回報率（過去10年）約為10.6%，如前所述，年化波動率為18.1%。在這裡，我們進行了一個假設性試驗，從100美元開始，持有10年，但我們將每年的投資暴露在一個隨機結果中，平均值為10.6%，標準偏差為18.1%。這個試驗進行了500次，這就是所謂的蒙特卡羅模擬。500次試驗的最終價格結果如下：

正態分佈僅用於強調非常非正態的價格結果。從技術上講，最終的價格結果是對數正態分佈（這意味著，如果x軸轉換為x的自然對數，則分佈看起來更為正態）。關鍵是，有幾個價格結果是正確的：在500個試驗中，有6個結果產生了700美元的期末結果！這些珍貴的少數成果在10年內，每年平均收益超過20%。在左邊，由於餘額遞減減少了百分比損失的累積影響，我們只得到了少數低於50美元的最終結果。總結一個困難的想法，我們可以說以百分比表示的區間收益率是正態分佈的，但最終價格結果是對數正態分佈的。

最後，我們試驗的另一個發現與波動性的“侵蝕效應”是一致的：如果你的投資每年獲得的收益恰好是平均值，那麼到最後你將持有約273美元（10年的複合收益率為10.6%）。但在這個實驗中，我們的總體預期收益接近250美元，換句話說，平均（算術）年收益為10.6%，但累積（幾何）收益較少。

關鍵是要記住，我們的模擬假設一個隨機遊走：它假設從一個週期到下一個週期的回報是完全獨立的。我們沒有用任何方法證明這一點，這不是一個微不足道的假設。如果你相信收益率遵循趨勢，那麼從技術上講，你是說它們顯示出正的序列相關性。如果你認為他們恢復到平均值，那麼從技術上說，你是說他們顯示負序列相關。這兩種立場都不符合獨立。

底線波動率是回報的年化標準差。在傳統的理論框架下，它不僅度量風險，而且影響長期（多期）收益預期。因此，它要求我們接受區間收益是正態分佈和獨立的可疑假設。如果這些假設是真的，那麼高波動性就是一把雙刃劍：它侵蝕了你預期的長期回報（它將算術平均值降低到幾何平均值），但它也為你提供了更多的機會，讓你獲得一些大的收益。