波动性是最常见的风险度量，但它有几种不同的形式。在上一篇文章中，我们展示了如何计算简单的历史波动率。在本文中，我们将改进简单波动率，并讨论指数加权移动平均（EWMA）。

历史波动率与隐含波动率

首先，让我们从一个角度来看待这个指标。主要有两种方法：历史波动率和隐含（或隐含）波动率。历史方法假定过去是序幕；我们衡量历史是希望它具有预测性。另一方面，隐含波动率忽略了历史；它解决了市场价格隐含的波动性。它希望市场最了解情况，希望市场价格包含（即使是隐含的）对波动性的一致估计。

如果我们只关注三种历史方法（上图左侧），它们有两个共同的步骤：

1. 计算周期性收益序列
2. 应用加权方案

首先，我们计算周期收益率。这通常是一系列的日收益率，其中每个收益率都是以连续复合的方式表示的。对于每一天，我们采用股票价格比率的自然对数（即今天的价格除以昨天的价格，依此类推）。

ui=LNSII−1where:ui=Return 当日isi=当日股价isi−1=前一天的股价\begin{aligned}&amp；u\u i=ln\frac{s\u i}{s\u i-1}}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；u\u i=\text{Return on day}i\\&amp；s\u i=\text{当日股价}i\\&amp；s{i-1}=\text{前一天股价}i\\\结束{对齐}​用户界面​=印度标准协会−1​硅​​where:ui​=isi当天返回​=isi当日股价−1​=前日股价​

这会产生一系列从ui到ui-m的每日回报，这取决于我们测量的天数（m=天）。

这让我们进入第二步：这是三种方法的不同之处。在上一篇文章中，我们展示了在几个可接受的简化条件下，简单方差是平方收益的平均值：

方差=σn2=1米∑i=1毫米−12where:m=Number 天数n=日iu=平均回报率差\开始{对齐}&amp\text{Variance}=\sigma^2\u n=\frac{1}{m}\sum{i=1}^m u^2{n-1}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；m=\text{测量天数}\\&amp；n=\text{Day}i\\&amp；u=\text{收益率与平均收益率之差}\\\end{对齐}​方差=σ氮气​=m1级​i=1∑米​联合国−12​where:m=Number 天数n=日iu=收益率与平均收益率之差​

请注意，这将对每个定期回报进行求和，然后将该总和除以天数或观察次数（m）。所以，它实际上只是周期收益的平方平均值。换言之，每个平方收益都有相等的权重。因此，如果α（a）是一个加权因子（具体来说，a=1/m），那么一个简单的方差如下所示：

EWMA改进了简单方差这种方法的缺点是所有收益的权重相同。昨天（最近）的回报对方差的影响不比上个月的回报大。这个问题是通过使用指数加权移动平均法（EWMA）来解决的，在EWMA中，最近的收益对方差的权重更大。

指数加权滑动平均（EWMA）引入了lambda，称为平滑参数。Lambda必须小于1。在这种情况下，每个平方收益率由一个乘数加权，而不是相等的权重，如下所示：

例如，金融风险管理公司RiskMetricsTM倾向于使用0.94的lambda，即94%。 在这种情况下，第一个（最近的）平方周期收益率加权（1-0.94）（.94）0=6%。下一个平方返回值只是之前权重的λ倍数；在这种情况下，6%乘以94%=5.64%。前三天的体重等于（1-0.94）（0.94）2=5.30%。

这就是EWMA中“指数”的含义：每个权重都是前一天权重的常数乘数（即lambda，必须小于1）。这确保了方差加权或偏向于较新的数据。谷歌的简单波动率和EWMA的区别如下所示。

简单波动率有效地将每个周期收益率加权0.196%，如O列所示（我们有两年的每日股价数据）。即509日收益率和1/509=0.196%）。但是请注意，P列指定的权重是6%，然后是5.64%，然后是5.3%，以此类推。这是简单方差和EWMA的唯一区别。

记住：当我们对整个序列求和之后（在Q列中），我们得到了方差，它是标准差的平方。如果我们想要波动性，我们需要记住取方差的平方根。

在谷歌的例子中，方差和EWMA的日波动率有什么不同？这很有意义：简单的方差给了我们2.4%的日波动率，而EWMA给我们的日波动率只有1.4%（详见电子表格）。显然，谷歌的波动性最近才稳定下来；因此，一个简单的方差可能是人为的高。

今天的方差是前一天方差的函数

你会注意到我们需要计算一长串指数递减的权重。我们在这里不做数学计算，但是EWMA的一个最好的特性是，整个序列可以方便地简化为一个递归公式：

σn2（EWMA）=λσn−12+(1−λ)联合国−12where:EWMA=Exponentially 加权移动平均σn2=今天的差异λ=加权程度σn−12=昨天大运−12=昨天返回的平方\begin{aligned}&amp\sigma^2\u n（\text{EWMA}）=\lambda\sigma^2\u{n-1}+（1-\lambda）u^2\u{n-1}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\text{EWMA}=\text{指数加权移动平均数}\\&amp\sigma^2\u n=\text{Variance today}\\&amp\lambda=\text{加权程度}\\&amp\sigma^2{n-1}=\text{Variance today}\\&amp；u^2{n-1}=\text{Squared return beday}\\\end{aligned}​σ氮气​(EWMA公司）=λσn−12​+(1−λ)联合国−12​where:EWMA=Exponentially 加权移动平均σ氮气​=今天的变化λ=加权程度σn−12​=昨天大运−12​=昨天还清了​

递归是指今天的方差引用（即是函数）前一天的方差。您也可以在电子表格中找到这个公式，它产生的结果与直接计算完全相同！它说：今天的方差（根据EWMA）等于昨天的方差（按λ加权）加上昨天的平方收益（按1减去λ加权）。请注意，我们只是将两项相加：昨天的加权方差和昨天的加权平方收益。

即便如此，lambda是我们的平滑参数。较高的lambda（例如，像RiskMetric的94%）表示序列中的衰减较慢-相对而言，序列中的数据点会更多，它们的“衰减”也会更慢。另一方面，如果我们减少lambda，我们表示更高的衰减：权重下降得更快，作为快速衰减的直接结果，使用的数据点更少(在电子表格中，lambda是一个输入，因此您可以试验它的灵敏度）。

总结

波动率是股票的瞬时标准差，也是最常见的风险度量。它也是方差的平方根。我们可以历史地或隐含地测量方差（隐含波动率）。在历史上衡量时，最简单的方法是简单的方差。但简单方差的缺点是所有收益的权重相同。因此，我们面临着一个典型的权衡：我们总是想要更多的数据，但我们拥有的数据越多，我们的计算就越被遥远（不太相关）的数据冲淡。指数加权移动平均法（EWMA）通过对周期收益分配权重，改进了简单方差法。通过这样做，我们既可以使用大样本量，但也给予更大的权重，最近的回报。