等价方程是具有相同解的方程组。识别和求解等价方程是一项很有价值的技能，不仅在代数课上，在日常生活中也是如此。看一看等效方程的例子，如何为一个或多个变量求解它们，以及在课堂外如何使用这项技能。

关键外卖

• 等价方程是具有相同解或根的代数方程。
• 将相同的数字或表达式添加或减去等式的两侧，即可生成等效的等式。
• 将方程的两侧乘以或除以相同的非零数，即可生成等效方程。

单变量线性方程组

最简单的等价方程示例没有任何变量。例如，这三个方程相互等效：

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

认识到这些等式是等价的是很好的，但不是特别有用。通常，一个等价方程问题要求你求解一个变量，看看它是否与另一个方程中的变量相同（根相同）。

例如，以下方程式是等效的：

• x=5
• -2x=-10

在这两种情况下，x=5。我们怎么知道的？对于“-2x=-10”方程，如何求解？第一步是了解等效方程的规则：

• 将相同的数字或表达式添加或减去等式的两侧，即可生成等效的等式。
• 将方程的两侧乘以或除以相同的非零数，即可生成等效方程。
• 将方程的两边提高到相同的奇数次方或取相同的奇数根将产生一个等价的方程。
• 如果方程的两边都是非负的，则将方程的两边提高到相同的偶数次方或取相同的偶数根将得到一个等价的方程。

例子

将这些规则付诸实践，确定这两个方程是否等效：

• x+2=7
• 2x+1=11

要解决这个问题，您需要为每个方程找到“x”。如果两个方程的“x”相同，则它们相等。如果“x”不同（即方程有不同的根），则方程不相等。对于第一个等式：

• x+2=7
• x+2-2=7-2（用相同的数字减去两边）
• x=5

对于第二个等式：

• 2x+1=11
• 2x+1-1=11-1（用相同的数字减去两侧）
• 2x=10
• 2x/2=10/2（将等式的两侧除以相同的数字）
• x=5

是的，这两个方程是等价的，因为在每种情况下x=5。

实用等效方程

你可以在日常生活中使用等价的方程式。它在购物时特别有用。例如，你喜欢某件衬衫。一家公司提供的衬衫售价为6美元，运费为12美元，而另一家公司提供的衬衫售价为7.50美元，运费为9美元。哪件衬衫的价格最好？如果两家公司的价格相同，你需要买多少件衬衫（也许你想给朋友买）？

为了解决这个问题，让“x”是衬衫的数量。首先，为购买一件衬衫设置x=1。对于公司#1：

• 价格=6x+12=（6）（1）+12=6+12=$18

对于公司#2：

• 价格=7.5x+9=（1）（7.5）+9=7.5+9=$16.50

因此，如果你买一件衬衫，第二家公司会提供更好的交易。

要找到价格相等的点，让“x”保持衬衫的数量，但将两个方程设置为彼此相等。求解“x”以确定您必须购买多少件衬衫：

• 6x+12=7.5x+9
• 6x-7.5x=9-12（从每边减去相同的数字或表达式）
• -1.5x=-3
• 1.5x=3（将两侧除以相同的数字，-1）
• x=3/1.5（两侧除以1.5）
• x=2

如果你买两件衬衫，无论你在哪里买到，价格都是一样的。你可以用同样的数学来确定哪家公司能更好地处理更大的订单，也可以计算使用一家公司比使用另一家公司能节省多少。看，代数很有用！

二元等价方程

如果有两个方程和两个未知数（x和y），则可以确定两组线性方程是否相等。

例如，如果您得到以下方程式：

• -3x+12y=15
• 7x-10y=-2

您可以确定以下系统是否等效：

• -x+4y=5
• 7x-10y=-2

要解决这个问题，请为每个方程组找到“x”和“y”。如果值相同，则方程组是等价的。

从第一盘开始。要用两个变量求解两个方程，请分离一个变量并将其解插入另一个方程。要隔离“y”变量，请执行以下操作：

• -3x+12y=15
• -3x=15-12y
• x=-（15-12y）/3=-5+4y（插入第二个等式中的“x”）
• 7x-10y=-2
• 7（-5+4y）-10y=-2
• -35+28y-10y=-2
• 18y=33
• y=33/18=11/6

现在，将“y”插回任一方程中，以求解“x”：

• 7x-10y=-2
• 7x=-2+10（11/6）

通过这个过程，你最终会得到x=7/3。

为了回答这个问题，你可以对第二组方程应用同样的原理来求解“x”和“y”，发现是的，它们确实是等价的。很容易陷入代数的泥潭，所以最好使用在线方程求解器检查你的工作。

然而，聪明的学生会注意到这两组方程是等价的，根本不需要做任何困难的计算。每组中第一个方程之间的唯一区别是第一个方程是第二个方程的三倍（等效）。第二个方程式完全相同。