什么是柯西分布？(the cauchy distribution?)

一个随机变量的一个分布不是对它的应用很重要，而是对它告诉我们的定义很重要。柯西分布就是这样一个例子，有时被称为病理学的例子。其原因是，尽管该分布定义良好，并且与物理现象有关，但该分布没有均值或方差。事实上，这个随机变量不具有矩母函数。...

一个随机变量的一个分布不是对它的应用很重要，而是对它告诉我们的定义很重要。柯西分布就是这样一个例子，有时被称为病理学的例子。其原因是，尽管该分布定义良好，并且与物理现象有关，但该分布没有均值或方差。事实上，这个随机变量不具有矩母函数。

The graph of Cauchy distribution is bell shaped, but it is not the normal distribution.

柯西分布的定义

我们通过考虑旋转器来定义柯西分布，例如棋盘游戏中的类型。此微调器的中心将定位在点（0，1）处的y轴上。旋转微调器后，我们将延伸微调器的线段，直到它穿过x轴。这将被定义为我们的随机变量X。

我们让w表示微调器与y轴形成的两个角度中较小的一个。我们假设这个旋转器和另一个旋转器一样可能形成任何角度，因此W的均匀分布范围为-π/2到π/2。

基本三角学为我们提供了两个随机变量之间的联系：

X=tanW。

X的累积分布函数推导如下：

H（x）=P（x&lt；x）=P（tan W&lt；x）=P（W&lt；arctanX）

然后我们使用W是均匀的这一事实，这给了我们：

H（x）=0.5+（arctan x）/π

为了得到概率密度函数，我们对累积密度函数进行了微分。结果是h（x）=1/[π（1+x2）]

柯西分布的特征

Cauchy分布的有趣之处在于，尽管我们使用随机微调器的物理系统定义了它，但具有Cauchy分布的随机变量没有均值、方差或矩母函数。用于定义这些参数的关于原点的所有力矩都不存在。

我们从考虑平均数开始。平均值定义为随机变量的期望值，因此E[X]=∫-∞∞x/[π（1+x2）]dx。

我们用代换法进行积分。如果我们设置u=1+x2，那么我们看到du=2xdx。代换后，得到的不适当积分不收敛。这意味着预期值不存在，且平均值未定义。

同样，方差和矩母函数也未定义。

柯西分布的命名

柯西分布是以法国数学家奥古斯丁·路易斯·柯西（1789-1857）的名字命名的。尽管该分布以Cauchy命名，但有关该分布的信息首先由Poisson发布。

发表于 2021-10-09 19:09
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分类：数学

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