什么是指数分布的偏度？(the skewness of an exponential distribution?)
概率分布的常用参数包括均值和标准差。平均值表示中心的测量值，标准偏差表示分布的分布情况。除了这些众所周知的参数外，还有其他一些参数会引起对排列或中心以外的特征的注意。一个这样的测量是偏度。偏度提供了一种将数值附加到分布不对称性的方法。
我们将研究的一个重要分布是指数分布。我们将看到如何证明指数分布的偏度为2。
指数概率密度函数
我们首先陈述指数分布的概率密度函数。这些分布都有一个参数，该参数与相关泊松过程的参数有关。我们将此分布表示为Exp（A），其中A是参数。该分布的概率密度函数为：
f（x）=e-x/A/A，其中x为非负。
这里e是数学常数e，约为2.718281828。指数分布Exp（A）的平均值和标准偏差都与参数A有关。事实上，平均值和标准偏差都等于A。
偏度的定义
偏度由一个关于平均值的第三个矩的表达式定义。此表达式是预期值：
E[（X-μ）3/σ3]=（E[X3]–3μE[X2]+3μ2E[X]–μ3）/σ3=（E[X3]–3μ（σ2-μ3）/σ3。
我们将μ和σ替换为A，结果是偏度为E[X3]/A3–4。
剩下的就是计算关于原点的第三个力矩。为此，我们需要整合以下内容：
∫∞0 x 3 f（x）dx。
这个积分的一个极限为无穷大。因此，它可以作为I型不适当积分进行计算。我们还必须确定使用什么集成技术。由于要积分的函数是多项式和指数函数的乘积，因此我们需要使用分段积分。这种集成技术应用了好几次。最终结果是：
E[X3]=6A3
然后我们将其与之前的偏斜度方程结合起来。我们看到偏度为6–4=2。
启示
需要注意的是，结果独立于我们开始时的特定指数分布。指数分布的偏度不依赖于参数A的值。
此外，我们看到结果是正偏态。这意味着分布向右倾斜。当我们考虑概率密度函数图的形状时，这并不奇怪。所有这样的分布都有y截距，即1//θ和一个位于图最右侧的尾部，对应于变量x的高值。
交替计算
当然，我们还应该提到，还有另一种计算偏度的方法。对于指数分布，我们可以利用矩母函数。在0处计算的矩母函数的一阶导数给出了E[X]。类似地，当在0处求值时，矩母函数的三阶导数给出了E（X3）。
- 发表于 2021-10-09 19:19
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- 分类：数学
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