方法1方法1/3：求简单函数的逆

1. 1查找y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}形式的函数。如果你有一个“正确”的函数开始，你可以用一些简单的代数来求逆。这种形式是y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}的一种变体。将其与标准形式的二次函数y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}进行比较，您应该注意到缺少中心项bx{\displaystyle bx}。另一种说法是b的值是0。如果你的函数是这种形式，求逆是相当容易的。你的开始函数不必看起来像y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}。只要你能看到这个函数只包含x2{\displaystyle x^{2}}项和常量，你就能使用这个方法。例如，假设你从方程2y开始−6+x2=y+3x2−4{\displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}。对这个等式的快速检查表明，x{\displaystyle x}与一次方之间不存在项。该方程是该方法寻找反函数的候选方程。

2. 2.通过组合相似的术语来简化。初始方程可能有多个加减组合项。第一步是组合相似项来简化方程，并将其改写为标准格式y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}。取样本方程2y−6+x2=y+3x2−4{\displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}，可以通过从两侧减去y来合并左侧的y项。其他术语可以在右边合并，两边加6，两边减去x^2。结果方程为y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}。

3. 3确定简化函数的域和范围。回想一下，函数的域由x的可能值组成，可以应用这些值来提供真正的解决方案。函数的范围由将产生的y值组成。要确定函数的域，请查找创建数学上不可能的结果的值。然后，将该域报告为x的所有其他值。若要找到该范围，请考虑Y在任何边界点的值，并查看函数的行为。考虑样本方程y= 2x2+ 2 {DePosiple y= 2x^ { 2 } +2 }。对于该方程式，x的允许值没有限制。但是，您应该认识到，这是以x=0为中心的抛物线方程，抛物线不是函数，因为它不包含x和y值的一对一映射。为了限制这个方程，使其成为一个函数，我们可以找到一个逆函数，我们必须将这个域定义为x≥0.范围同样有限。请注意，对于x的任何值，第一项2x2{\displaystyle 2x^{2}}将始终为正或0。当方程再加上+2时，范围将是任何值y≥2.在这一早期阶段定义领域和范围是必要的。稍后，您将在定义反函数的域和范围时使用这些定义。实际上，原函数的域将成为反函数的域，原函数的域将成为反函数的域。

4. 4切换x和y术语的角色。在不以任何其他方式更改方程式的情况下，需要用x替换y的所有外观，用y替换x的所有外观。这是实际“反转”方程式的步骤。使用样本方程y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}，此反转步骤将产生新的方程x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}。另一种格式是将y项替换为x项，但将x项替换为任一y项−1{\displaystyle y^{-}1}或f（x）−1{\displaystyle f（x）^{-}1}表示逆函数。

5. 5.根据y重写反向方程。使用代数步骤的组合，并注意在方程两侧均匀执行相同的操作，需要分离y变量。对于工作方程x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}，此修订如下所示：x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}（原始起点）x−2=2y2{\displaystyle x-2=2y^{2}}（从两侧减去2）x−22=y2{\displaystyle{\frac{x-2}{2}}}=y^{2}}（两边除以2）±x−22=y{\displaystyle{\sqrt{\frac{x-2}{2}}}=y}（两边的平方根；请记住，平方根会产生正反两种可能的答案）

6. 6确定逆函数的域和范围。正如您在开始时所做的那样，检查反向方程以定义其域和范围。有两种可能的解决方案，您将选择一种域和范围与原始域和范围相反的解决方案。检查±x的样本方程解−22=y{\displaystyle{\sqrt{\frac{x-2}{2}}}=y}。因为没有为任何负值定义平方根函数，所以项x−22{\displaystyle{\frac{x-2}{2}}}必须始终为正。因此，x（域）的允许值必须是x≥2.将其用作域，得到的y值（范围）要么是所有值y≥0，如果取平方根的正解，或y≤0，如果选择平方根的负解。回想一下，您最初将域定义为x≥0，以便能够找到反函数。因此，反函数的正确解是正选项。比较反向的域和范围与原始的域和范围。回想一下，对于原始函数y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}，域被定义为x的所有值≥0，范围定义为所有值y≥2.对于反函数，现在，这些值切换，域都是值x≥2，范围是y的所有值≥0

7. 7检查反向函数是否工作。为了确保你的工作是正确的，并且你的逆公式是正确的，请为x选择任意值，并将其放入原始公式中，以找到y。然后，将y的值放入逆公式中x的位置，看看你是否生成了开始时的数字。如果是这样，你的反函数是正确的。作为示例，选择值x=1，将其放入原始方程y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}。这就得到了y=4的结果。接下来，将该值4放入反函数x中−22=y{\displaystyle{\sqrt{\frac{x-2}{2}}}=y}。这确实给出了y=1的结果。你可以得出结论，你的反函数是正确的。

方法2方法2/3：完成平方运算以确定反函数

1. 1以适当的形式建立二次方程。为了开始求逆，必须从格式为f（x）=ax2+bx+c{\displaystyle f（x）=ax^{2}+bx+c}的方程开始。如有必要，您可能需要将类似的项组合起来，以将方程转换为这种格式。用这种方法写出的方程式，你就可以开始讲述它的一些信息了。首先要注意的是系数a的值；0，则方程定义了一条抛物线，其端点向上。如果a&lt；方程定义了一条抛物线，其端点向下。注意≠如果是这样，那么这将是一个线性函数，而不是二次函数。

2. 2识别二次曲线的标准格式。在找到反函数之前，你需要将你的方程改写成标准格式。任何二次函数的标准格式是f（x）=a（x−h） 2+k{\displaystyle f（x）=a（x-h）^{2}+k}。当你通过一个称为完成平方的过程来变换方程时，数值项a、h和k将得到发展。请注意，这个标准格式由一个完美的平方项（x）组成−h） 2{\displaystyle（x-h）^{2}}，然后由其他两个元素a和k进行调整。要得到这个完美的正方形形式，需要在二次方程中创建某些条件。

3. 3回忆一下完美平方二次函数的形式。记住，一个二次函数是一个完美的正方形，它由（x+b）（x+b）{\displaystyle（x+b）（x+b）}或（x+b）2{\displaystyle（x+b）^{2}的两个二项式组成。当执行此乘法时，得到的结果是x2+2bx+b2{\displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}。因此，二次型的第一项是二项式的第一项，平方，二次型的最后一项是二项式的第二项的平方。中间项由两项乘积的2倍组成，在本例中为2∗十、∗b{\displaystyle 2*x*b}。要完成这个方块，你需要反向工作。您将从x2{\displaystyle x^{2}和一些第二个x项开始。从这个术语的系数，你可以定义为“2b”，你需要找到b2{\displaystyle b^{2}。这需要将结果除以2，然后平方。

4. 4确保x2{\displaystyle x^{2}上的系数为1。回想一下二次函数ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}的原始形式。如果第一个系数不是1，则必须将所有项除以该值，以设置a=1。例如，考虑二次函数f（x）＝2x2+6x。−4{\displaystyle f（x）=2x^{2}+6x-4}。你必须通过将所有项除以2来简化这个过程，从而得到最终的函数f（x）=2（x2+3x）−2） {\displaystyle f（x）=2（x^{2}+3x-2）}。系数2将保留在括号外，并将成为最终解决方案的一部分。如果所有的项都不是a的倍数，你将得到分数系数。例如，函数f（x）=3x2−2x+6{\displaystyle f（x）=3x^{2}-2x+6}将简化为f（x）=3（x2−2x3+2）{\displaystyle f（x）=3（x^{2}-{\frac{2x}{3}}+2}。如有必要，仔细学习分数。

5. 5找到中间系数的一半，并将其平方。你已经有了完美平方的前两项。这些是x2{\displaystyle x^{2}}项，以及出现在x项前面的任何系数。通过将该系数取为任意值，你可以加上或减去创建一个完美的平方二次型所需的任何数字。回想一下，二次曲线的第三项是第二个系数，除以2，然后再平方。例如，如果你的二次函数的前两项是x2+3x{\displaystyle x^{2}+3x}，你将通过将3除以2得到所需的第三项，结果为3/2，然后平方得到9/4。二次型x2+3x+9/4{\displaystyle x^{2}+3x+9/4}是一个完美的正方形。再举一个例子，假设你的前两项是x2−4x{\displaystyle x^{2}-4x}。中间项的一半是-2，然后平方得到4。得到的完美平方是x2−4x+4{\displaystyle x^{2}-4x+4}。

6. 6同时加减所需的第三项。这是一个棘手的概念，但它是有效的。通过在函数的不同位置加上和减去相同的数字，实际上并没有改变函数的值。然而，这样做将允许您将函数转换为正确的格式。假设函数f（x）=x2−4x+9{\displaystyle f（x）=x^{2}-4x+9}。如上所述，您将使用前两个术语来完成正方形。使用中间项-4x，您将生成第三项+4。用f（x）=（x2）的形式将4加到等式中并减去−4x+4）+9−4{\displaystyle f（x）=（x^{2}-4x+4）+9-4}。放置括号只是为了定义要创建的完美平方。请注意括号内的+4和括号外的-4。简化这些数字，得到f（x）=（x2）的结果−4x+4）+5{\displaystyle f（x）=（x^{2}-4x+4）+5}。

7. 7乘以完美平方。括号内的多项式应该是一个完美的平方二次型，可以用（x+b）2{\displaystyle（x+b）^{2}的形式重写。在上一步的示例中，f（x）=（x2−4x+4）+5{\displaystyle f（x）=（x^{2}-4x+4）+5}，二次因子为（x−2） 2{\displaystyle（x-2）^{2}。继续方程的其余部分，你的解将是f（x）=（x）−2） 2+5{\displaystyle f（x）=（x-2）^{2}+5}。这是和你原来的二次函数f（x）=x2相同的函数−4x+9{\displaystyle f（x）=x^{2}-4x+9}，简单地修改为标准f（x）=a（x−h） 2+k{\displaystyle f（x）=a（x-h）^{2}+k}形式。注意，对于这个函数，a=1，h=2，k=5。以这种形式写出方程式的价值在于，a为正，告诉你抛物线指向上。（h，k）的值告诉你抛物线底部的顶点，如果你想绘制它。

8. 8定义函数的域和范围。域是一组x值，可以用作函数的输入。范围是可以作为结果的y值集。请记住，抛物线不是具有可定义逆的函数，因为由于抛物线的对称性，不存在x值到y值的一对一映射。要解决这个问题，需要将域定义为大于抛物线顶点x=h的所有x值。继续使用示例函数f（x）=（x−2） 2+5{\displaystyle f（x）=（x-2）^{2}+5}。因为这是标准格式，所以可以将顶点标识为x=2，y=5。因此，为了避免对称，您将只处理图的右侧，并将域设置为所有值x≥2.将值x=2插入函数中，得到y=5的结果。你可以看到y的值会随着x的增加而增加。因此，这个方程的范围是y≥5.

9. 9切换x和y值。在这一步中，你开始找到方程的倒转形式。除了切换这些变量外，请保留整个等式。继续使用函数f（x）=（x−2） 2+5{\displaystyle f（x）=（x-2）^{2}+5}。插入x代替f（x），插入y（或者f（x，如果你愿意的话）代替x。这将产生新的函数x=（y）−2） 2+5{\displaystyle x=（y-2）^{2}+5}。

10. 10.根据y重写反向方程。使用代数步骤的组合，并注意在方程两侧均匀执行相同的操作，需要分离y变量。对于工作方程x=（y−2） 2+5{\displaystyle x=（y-2）^{2}+5}，此修订版将如下所示：x=（y）−2） 2+5{\displaystyle x=（y-2）^{2}+5}（原始起点）x−5=（y）−2） 2{\displaystyle x-5=（y-2）^{2}}（从两侧分包5）±x−5=y−2{\displaystyle{\sqrt{x-5}}=y-2}（两边的平方根；请记住，平方根会产生正的和负的可能答案）±x−5+2=y{\displaystyle{\sqrt{x-5}}+2=y}（两边加2）

11. 11确定逆函数的域和范围。正如您在开始时所做的那样，检查反向方程以定义其域和范围。有两种可能的解决方案，您将选择一种域和范围与原始域和范围相反的解决方案。检查±x的样本方程解−5+2=y{\displaystyle{\sqrt{x-5}}+2=y}。因为没有为任何负值定义平方根函数，所以项x−5{\displaystyle{x-5}}必须始终为正。因此，x（域）的允许值必须是x≥5.将其用作域，得到的y值（范围）要么是所有值y≥2，如果你取平方根的正解，或者y≤2如果选择平方根的负解。回想一下，您最初将域定义为x≥2.为了能找到反函数。因此，反函数的正确解是正选项。比较反向的域和范围与原始的域和范围。回想一下，对于原始函数，域被定义为x的所有值≥2，范围定义为所有值y≥5.对于反函数，现在，这些值切换，域都是值x≥5，范围是y的所有值≥2.

12. 12检查反向函数是否有效。为了确保你的工作是正确的，并且你的逆公式是正确的，请为x选择任意值，并将其放入原始公式中，以找到y。然后，将y的值放入逆公式中x的位置，看看你是否生成了开始时的数字。如果是这样，你的反函数是正确的。作为示例，选择值x=3，将其放入原始方程式f（x）=x2中−4x+9{\displaystyle f（x）=x^{2}-4x+9}。这就得到了y=6的结果。接下来，将该值6放入反函数x中−5+2=y{\displaystyle{\sqrt{x-5}}+2=y}。这确实给出了y=3的结果，这是您开始使用的数字。你可以得出结论，你的反函数是正确的。

方法3方法3/3：使用二次公式

1. 1记住解x的二次公式。回想一下，在解二次方程时，一种方法是尽可能将其因子化。如果因子分解不起作用，那么你可以求助于二次公式，这将产生任何二次公式的真实解。可以使用二次公式作为另一种求逆函数的方法。二次公式为x=[-b±√（b^2-4ac）]/2a。请注意，二次公式将产生两个可能的解决方案，一个是正的，一个是负的。您将根据定义函数的域和范围进行选择。

2. 2从一个二次方程开始求逆。二次方程必须以格式f（x）=ax2+bx+c{\displaystyle f（x）=ax^{2}+bx+c}开头。采取任何你必须的代数步骤，把你的方程变成那个形式。对于本文的这一部分，使用样本方程f（x）=x2+2x−3{\displaystyle f（x）=x^{2}+2x-3}。

3. 3用图表表示方程式以定义域和范围。确定函数的图形，可以使用图形计算器，也可以只绘制各个点，直到抛物线出现。你会发现这个方程定义了一条抛物线，它的顶点是（-1，-4）。因此，要将其定义为一个具有逆函数的函数，请将域定义为x的所有值≤-1.范围将全部为y≥-4.

4. 4交换变量x和y。要开始求逆，请切换变量x和y。除了反转变量外，保持方程不变。在这个阶段，您将用x替换f（x）。使用工作方程f（x）=x2+2x−3{\displaystyle f（x）=x^{2}+2x-3}，这将给出结果x=y2+2y−3{\displaystyle x=y^{2}+2y-3}。

5. 5将等式的左侧设为0。回想一下，要使用二次公式，必须将方程设置为0，然后使用公式中的系数。类似地，这种求逆函数的方法从将方程设置为0开始。对于示例等式，要使左侧等于0，必须从等式的两侧减去x。这将给出结果0=y2+2y−3.−x{\displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}。

6. 6重新定义变量，以符合二次公式。这一步有点棘手。回想一下，在方程式0=ax2+bx+c{\displaystyle 0=ax^{2}+bx+c}中，二次公式求解x。所以，要得到你现在的方程，0=y2+2y−3.−x{\displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}，要匹配该格式，需要如下重新定义术语：让y2=ax2{\displaystyle y^{2}=ax^{2}。因此，x=1Let 2y=bx{\displaystyle 2y=bx}。因此，b=2Let(−3.−x） =c{\displaystyle（-3-x）=c}。因此，c=（-3-x）

7. 7使用这些重新定义的值求解二次公式。通常情况下，你会把a，b和c的值放入二次公式中去求解x。然而，回想一下，你之前为了求逆函数而切换了x和y。因此，当你用二次公式来解x时，你实际上是在解y，或f-逆。求解二次公式的步骤如下：x=[-b±√（b^2-4ac）]/2ax=（-2）±√（-2）^2-4（1）（-3-x））/2（1）x=（-2）±√（4+12+4x））/2x=（-2±√（16+4x））/2x=（-2±√（4） （4+x））/2x=-2±2√（4+x））/2x=-1±√（4+x）f-逆=-1±√（4+x）（这最后一步是可能的，因为您之前将x替换为f（x）变量。）

8. 8写出两种可能的解决方案。请注意，二次公式使用±符号给出了两种可能的结果。写出两个独立的解决方案，以便更容易地定义域和范围，并得出正确的最终解决方案。这两种解决方案是：f−1=−1+4+x{\displaystyle f^{-1}=-1+{\sqrt{4+x}}}f−1=−1.−4+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt{4+x}}

9. 9定义反函数的域和范围。注意，要定义平方根，域必须是x≥-4.回想一下原始函数的域是x≤-1，范围为y≥-4.要选择匹配的反函数，需要选择第二个解f−1=−1.−4+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt{4+x}}}作为正确的反函数。

10. 10检查你的反函数是否有效。为了确保你的工作是正确的，并且你的逆公式是正确的，请为x选择任意值，并将其放入原始公式中，以找到y。然后，将y的值放入逆公式中x的位置，看看你是否生成了开始时的数字。如果是这样，你的反函数是正确的。使用原始函数f（x）=x2+2x−3{\displaystyle f（x）=x^{2}+2x-3}，选择x=-2。这将给出y=-3的结果。现在将x=-3的值放入反函数f中−1=−1.−4+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt{4+x}}}。结果是-2的结果，这确实是你开始时的值。因此，你对反函数的定义是正确的。

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