第1部分第1部分，共2部分：分歧

1. 1了解分歧是什么。散度是对特定点的源或汇的度量换句话说，多少是流入或流出一个点。因此，它仅为向量场定义，并输出标量。下面是一个正散度场的例子。分歧由div{\displaystyle\operatorname{div}}或∇⋅{\displaystyle\nabla\cdot}，其中点表示获取点积的相似性。
2. 2将偏导数与F{\displaystyle\mathbf{F}分量的点积相加。这适用于仅在笛卡尔坐标系中定义的向量场F=Fxx^+Fyy^+Fzz^{\displaystyle\mathbf{F}=F_{x}\mathbf{\hat{x}}+F_{y}\mathbf{\hat{y}+F_{z}\mathbf{\hat{z}}。∇⋅F=(∂∂十、∂∂Y∂∂z）⋅（外汇、财年、Fz）=∂外汇∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂“左（{\FRC{{\部分{{{\部分}{{{\部分}{\部分x}}}，，{{\FRC{{\部分{{\部分{{{\部分y}}}，，{\\\显示风格\Na布拉\cdot\cdot\METOT\MEBOT\Na布拉\Na布拉\Na布拉\CDT\MET\MET\门门门邦邦邦邦邦邦邦邦邦邦邦邦[[[[[[F}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{....................................缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸...概概概概概概概，，，，，，{{{{{{{{{{，，，，{{{{z}{\部分z}}
3. 3参考以下公式。如果向量场F{\displaystyle\mathbf{F}}是以柱坐标（ρ，ν，z）{\displaystyle（\rho，φ，z）}或球坐标（r，θ，φ）{\displaystyle（r，θ，θ，φ）}（其中θ{\displaystyle\θ是极角）给出的，则散度没有简单的形式。∂外汇∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z{\displaystyle{\frac{\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac{\partial F_{y}}{\partial y y}}+{\frac{\partial F_{z}}{\partial z}}}1ρ∂（ρFρ）∂ρ+1ρ∂Fñ∂ϕ+∂Fz∂z{\displaystyle{\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial（\rho F{\rho}}}}{\partial\rho}}+{\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial F{\phi}}{\partial\phi}+\frac{\partial F{phi z}}}{∂（r2Fr）∂r+1rsin⁡θ∂∂θ（Fθsin）⁡θ） +1rsin⁡θ∂Fñ∂{{7{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}部分部分（r}}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}
4. 4计算下列函数的散度。F=（3x2）−5x2y4）x^+（xy4z2−罪⁡（2x2z3）y^+（5z2+yz）z^{\displaystyle\mathbf{F}=（3x^{2}-5x^{2}-y^{4}）\mathbf{hat{x}}+（xy^{4}z^{2}-\sin 2x^{2}-z^{3}\mathbf{hat}{y}∇⋅F=6x−10xy4+4xy3z2+y+10z{\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{F}=6x-10xy{4}+4xy{3}z^{2}+y+10z}正如你们所看到的，我们已经从一个向量场映射到了一个标量场。

第2部分第2部分，共2部分：卷曲

1. 1了解什么是卷曲。旋度是为向量场定义的，直观地说，是任意点的循环量。操作符输出另一个向量场。现实生活中的漩涡是由水组成的，就像一个具有非零旋度的向量场。上面是一个负旋度场的例子（因为它是顺时针旋转的）。curl由curl{\displaystyle\operatorname{curl}}或∇×{\displaystyle\nabla\times}，其中times符号表示采用叉积的相似性。

2. 2.设置行列式。函数的旋度类似于两个向量的叉积，因此旋度算子用a表示∇×.{\displaystyle\nabla\times.}和以前一样，只有在笛卡尔坐标系中定义了F{\displaystyle\mathbf{F}时，这种助记符才有效。∇x F=|x^y^z^∂/∂十、∂/∂Y∂/∂zFxFyFz |{\displaystyle\nabla\times\mathbf{F}={\begin{vmatrix}\mathbf{\hat{x}}&amp；\mathbf{\hat{y}}&amp；\mathbf{\hat{z}\\\\partial/\partial x&amp；\部分/\部分y&amp；\部分/\partial z\\F_{x}&amp；F_{y}&amp；F_{z}\end{vmatrix}
3. 3.找出矩阵的行列式。下面，我们通过辅因子展开（通过未成年人展开）来实现。∇×F=(∂Fz∂Y−∂Fy∂z） x^−(∂Fz∂十、−∂外汇∂z） y^+(∂Fy∂十、−∂外汇∂y） 3.0{{{7}}{{{\\显示风格\Na布拉\ \时间\ \泰国布布布利亚\ \10 10 10 10{{{{{{}}}{{{{{{{{{}}}{{{{{\\布布布布利亚\儿童儿童儿童[[[[3\布布布布布布利亚\ \儿童儿童儿童[[[[3}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}{{{{{\部分y}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{\部分y}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{\缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸}}}}}}}}{{{{{{{{{{{缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸缅甸}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{F{y}{\partial x}}-{\frac{\partial F{x}}{\partial y}}}\right）\mathbf{\hat{z}}
4. 4参考以下公式。如果F{\displaystyle\mathbf{F}}在柱坐标或球坐标中，旋度没有简单的形式。(∂Fz∂Y−∂Fy∂z） x^−(∂Fz∂十、−∂外汇∂z） y^+(∂Fy∂十、−∂外汇∂y） 7.7{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{}}}{{{{{}}}}}{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}x}-{\frac{\partial F{x}}{\partial y}}\right\mathbf{\hat{z}}}（1ρ∂Fz∂ϕ−∂Fñ∂z） ρ^−(∂Fz∂ρ−∂Fρ∂z） ñ^+1ρ(∂（ρFñ）∂ρ−∂Fρ∂7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 hat{\phi}}+{\frac{1}{\rho}}\left（{\frac{\partial（\rho F_{\phi}）}{\partial\rho}}-{\frac{\partial F_{\rho}{\partial\phi}}\right）\mathbf{\hat{z}}}1rsin⁡θ(∂∂θ（Fñsin）⁡θ)−∂Fθ∂ν）r^−1r(∂∂r（射频）−1英寸⁡θ∂Fr∂ν）θ^+1r(∂∂r（rFθ）−∂Fr∂θ） ñ^{\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{1}{r\sin\theta}}\left（{\frac{\partial}{\partial\theta}}（F{\phi}\sin\theta）{\frac{\partial F{\theta}{\partial\phi}\right）\mathbf{\hat{r}&amp-{\frac{1}{r}}\左（{\frac{\partial}{\partial r}}}（rF{\phi}）{\frac{1}{\sin\theta}}{\frac{\partial F{r}{\partial\phi}\右）{\boldsymbol{\hat{\theta}\\\\&amp+{\frac{1}{r}}左（{\frac{\partial}{\partial r}}}（rF{\theta}）{\frac{\partial F{r}}}右{\partial\theta}右{\boldsymbol{\hat{\phi}}\end{aligned}
5. 5计算以下函数的旋度。F=（5x2y2）−7xz3）x^+（4x−5xy−y4）y^+（xz+z2）z^{\displaystyle\mathbf{F}=（5x^{2}-7xz{3}）\mathbf{\hat{x}+（4x-5xy-y^{4}）\mathbf{\hat{y}+（xz+z^{2}）\mathbf
6. 6设置行列式。∇x F=|x^y^z^∂/∂十、∂/∂Y∂/∂zFxFyFz |{\displaystyle\nabla\times\mathbf{F}={\begin{vmatrix}\mathbf{\hat{x}}&amp；\mathbf{\hat{y}}&amp；\mathbf{\hat{z}\\\\partial/\partial x&amp；\部分/\部分y&amp；\部分/\partial z\\F_{x}&amp；F_{y}&amp；F_{z}\end{vmatrix}}Fx=5x2y2−7xz3{\displaystyle F_{x}=5x^{2}y^{2}-7xz^{3}Fy=4x−5xy−y4{\displaystyle F{y}=4x-5xy-y^{4}}Fz=xz+z2{\displaystyle F{z}=xz+z^{2}
7. 7计算行列式。(∂Fz∂Y−∂Fy∂z） x^=0−0{\displaystyle\left（{\frac{\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac{\partial F_{y}}}{\partial z}}\right）\mathbf{\hat{x}}=0-0}(∂Fz∂十、−∂外汇∂z） y^=z−(−21xz2）{\displaystyle\left（{\frac{\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac{\partial F_{x}}}}{\partial z}\right）\mathbf{\hat{y}=z-（-21xz^{2}）(∂Fy∂十、−∂外汇∂y） z^=（4）−5y）−10x2y{\displaystyle\left（{\frac{\partial F{y}}{\partial x}}-{\frac{\partial F{x}}}{\partial y y}}\right）\mathbf{\hat{z}=（4-5y）-10x^{2}{y}
8. 8.得出答案。∇×F=−（z+21xz2）y^+（4）−5y−10x2y）z^{\displaystyle\nabla\times\mathbf{F}=-（z+21xz^{2}）\mathbf{\hat{y}+（4-5y-10x^{2}y）\mathbf{\hat{z}}注意，我们已经映射到另一个向量场。

• 有几个身份是有用的，值得记住。下面是更重要的二阶导数的部分列表。你可以通过直接计算来证明它们。∇⋅(∇×F）=0{\displaystyle\nabla\cdot（\nabla\times\mathbf{F}）=0}∇×(∇f） =0{\displaystyle\nabla\times（\nabla f）=0}
• 拉普拉斯算子是一种复合算子，定义为梯度的散度∇⋅∇=∇2.{\displaystyle\nabla\cdot\nabla=\nabla^{2}我们用笛卡尔坐标写出拉普拉斯函数。这个算符在物理和工程中特别有用。例如，静电场的电势可以用泊松方程来描述，其中涉及拉普拉斯方程。∇2ϕ=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2{\displaystyle\nabla^{2}\phi={\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi