有差別的(differential)和導數(derivative)的區別

為了更好地理解函式的微分和導數之間的區別，首先需要理解函式的概念。...

為了更好地理解函式的微分和導數之間的區別，首先需要理解函式的概念。

函式是數學中的基本概念之一，它定義了一組輸入和一組可能輸出之間的關係，其中每個輸入與一個輸出相關。一個變數是自變數，另一個變數是因變數。

函式的概念是數學中最被低估的話題之一，但在定義物理關係時卻是必不可少的。舉個例子：“y是x的函式”這句話的意思是，與y有關的東西透過某種公式與x直接相關。假設輸入是6，函式是在輸入6上加5，結果是6+5=11，這就是你的輸出。

數學中很少有例外，或者你可以說問題，僅僅用普通的幾何和代數方法是無法解決的。數學的一個新分支微積分被用來解決這些問題。

微積分與數學有著本質的區別，它不僅運用了幾何學、算術和代數的思想，而且處理變化和運動。

微積分作為一種工具，把函式的導數定義為一種特殊的極限。函式導數的概念使微積分有別於其他數學分支。微分學是微積分學的一個分支，是微積分學的兩個基本分支之一。另一個分支叫做積分學。

什麼是有差別的(differential)？

微分學和積分學是微積分學的基礎分支之一。它是微積分的一個子領域，處理一些變化量的無窮小變化。我們生活的世界充滿了週期性變化的相互關聯的量。

例如，一個圓形物體的面積隨半徑的變化而變化，或者一個彈丸的面積隨速度的變化而變化。用數學術語來說，這些變化的實體稱為變數，一個變數相對於另一個變數的變化率是一個導數。表示這些變數之間關係的方程叫做微分方程。

微分方程是包含未知函式及其導數的方程。

什麼是導數(derivative)？

函式的導數概念是數學中最有力的概念之一。函式的導數通常是一個新的函式，稱為導數函式或速率函式。

函式的導數表示因變數值相對於自變數值的瞬時變化率。它是微積分的基本工具，也可以解釋為切線的斜率。它測量函式的圖形在圖形上某個給定點的陡峭程度。

簡單地說，導數是函式在某一特定點上變化的速率。

微分與導數的區別

微分與導數的定義

微分和導數這兩個術語在相互關係上是緊密相連的。在數學中，變化的實體稱為變數，一個變數相對於另一個變數的變化率稱為導數。

定義這些變數及其導數之間關係的方程稱為微分方程。微分是求導數的過程。函式的導數是輸出值相對於輸入值的變化率，而微分是函式的實際變化率。

微分與導數的關係

微分是一種計算導數的方法，導數是函式的輸出y相對於變數x的變化率。

簡單地說，導數是指y相對於x的變化率，這種關係表示為y=f（x），也就是說y是x的函式。函式f（x）的導數定義為其值產生f（x）斜率的函式，其中f（x）是可微的。它是指圖形在給定點的斜率。

微分與導數的表示

微分用dx、dy、dt等表示，其中dx表示x的微小變化，dy表示y的微小變化，dt表示t的微小變化。當比較y是x的函式的相關量的變化時，微分dy可以寫成：

dy=f'（x）dx

函式的導數是函式在任意點的斜率，寫為d/dx。例如，sin（x）的導數可以寫成：

d/dx sin（x）=sin（x）'=cos（x）

微分與導數：比較圖

總結 - 微分方程(of differential) vs. 導數(derivative)

在數學中，一個變數相對於另一個變數的變化率稱為導數，表示這些變數與其導數之間關係的方程稱為微分方程。一言以蔽之，微分方程包含導數，而導數實際上指定了一個量相對於另一個量是如何變化的。透過解一個微分方程，你得到一個不含導數的量的公式。計算導數的方法叫做微分法。簡單地說，函式的導數是輸出值相對於輸入值的變化率，而微分是函式的實際變化率。