绘制概率分布图

几乎不管你对市场的可预测性或效率有什么看法，你都可能会同意，对于大多数资产来说，保证回报是不确定的或有风险的。如果我们忽略概率分布的数学基础，我们可以看到它们是描述不确定性的特定视图的图片。概率分布是一种统计计算，它描述了给定变量在绘图图表上的特定范围内或之间的概率。

不确定性是指随机性。这与缺乏可预测性或市场效率低下不同。一种新兴的研究观点认为，金融市场既具有不确定性又具有可预测性。此外，市场可以是有效的，但也不确定。

在金融学中，当我们认为资产收益率可以看作是一个随机变量时，我们用概率分布来描绘我们对资产收益率敏感性的看法。在本文中，我们将介绍几种最流行的概率分布，并向您展示如何计算它们。

根据概率密度函数（PDF）和累积分布，分布可以分为离散分布和连续分布。

离散分布与连续分布

离散是指从一组有限的可能结果中抽取的随机变量。例如，一个六面模具有六个离散的结果。连续分布指的是从无限集合中抽取的随机变量。连续随机变量的例子包括速度、距离和一些资产回报。离散随机变量通常用点或破折号表示，而连续变量用实线表示。下图显示了正态分布的离散和连续分布，平均值（期望值）为50，标准偏差为10：

这个分布图试图描绘不确定性。在这种情况下，结果50是最有可能的，但只会发生约4%的时间；结果为40是一个标准差低于平均值，它将发生在略低于2.5%的时间。

概率密度与累积分布

另一个区别是概率密度函数（PDF）和累积分布函数。PDF是指随机变量达到某一特定值（或在连续变量的情况下，介于某一区间之间）的概率。我们表明，通过指出随机变量X等于实际值X的概率：

P[x=x]\begin{aligned}&amp；P[x=x]\\结束{对齐}​P[x=x]​

累积分布是随机变量X小于或等于实际值X的概率：

P[x&lt=十] \开始{对齐}&amp；P[x&lt；=十] \\\结束{对齐}​P[x&lt=[第X页]​

或者举个例子，如果你的身高是一个随机变量，期望值为5'10英寸（你父母的平均身高），那么PDF问题是，“你达到5'4英寸的概率是多少？”，相应的累积分布函数问题是，“你比5'4英寸矮的概率是多少？”

上图显示了两个正态分布。您现在可以看到这些是概率密度函数（PDF）图。如果我们重新绘制与累积分布完全相同的分布，我们将得到以下结果：

累积分布最终必须在y轴上达到1.0或100%。如果我们把标准提高到足够高，那么在某个时刻，几乎所有的结果都会落在这个标准之下（我们可以说，分布通常渐近到1.0）。

金融学是一门社会科学，它不像物理科学那么干净。例如，引力有一个优雅的公式，我们可以一次又一次地依赖它。另一方面，金融资产回报率不可能如此一致地复制。这些年来，聪明人把准确的分布（即，好像是从物理科学中得出的）与试图描述财务回报的混乱、不可靠的近似值混淆起来，损失了惊人的金钱。在金融学中，概率分布只不过是粗略的图示。

均匀分布

最简单和最流行的分布是均匀分布，在均匀分布中，所有结果发生的机会均等。六面模具具有均匀分布。每个结果的概率约为16.67%（1/6）。我们下面的图显示了实线（因此您可以更好地看到它），但请记住，这是一个离散分布，您无法滚动2.5或2.11：

现在，将两个骰子一起掷，如下图所示，分布不再均匀。它的峰值为7，恰好有16.67%的几率。在这种情况下，所有其他结果都不太可能出现：

现在，将三个骰子掷在一起，如下图所示。我们开始看到一个最惊人的定理的效果：中心极限定理。中心极限定理大胆地承诺，一系列自变量的和或平均值将趋于正态分布，而不管它们本身的分布如何。我们的骰子是单独统一的，但把它们结合起来，当我们添加更多的骰子时，它们的总和几乎神奇地趋向于我们熟悉的正态分布。

二项分布

二项式分布反映了一系列“非此即彼”的试验，例如一系列的抛硬币试验。这些被称为伯努利试验，指的是只有两个结果，但你不需要甚至（50/50）的几率的事件。下面的二项分布绘制了一系列10枚硬币的抛硬币，其中头部的概率为50%（p-0.5）。从下图中可以看出，恰好翻转五个正面和五个反面（顺序无关紧要）的几率只有25%：

如果二项分布在你看来是正态的，你是对的。随着试验次数的增加，二项分布趋于正态分布。

对数正态分布

对数正态分布在金融学中非常重要，因为许多最流行的模型都假设股票价格是对数正态分布的。很容易将资产回报与价格水平混淆。

资产回报率通常被视为正常——一只股票可以上涨10%，也可以下跌10%。价格水平通常被视为对数正态分布——一只10美元的股票可以涨到30美元，但不能跌到10美元。对数正态分布是非零的，并且向右倾斜（同样，一只股票不能跌到0美元以下，但它没有理论上的上涨限制）：

泊松

泊松分布用于描述某个事件（例如，日投资组合损失低于5%）在一个时间间隔内发生的概率。因此，在下面的示例中，我们假设某个操作过程的错误率为3%。我们进一步假设100个随机试验；泊松分布描述了在一段时间内（例如一天）出现一定数量错误的可能性。

学生的t

学生的T分布也很流行，因为它有一个稍微“胖尾巴”比正态分布。当我们的样本量很小（即小于30）时，通常使用学生的T。在金融学中，左尾代表损失。因此，如果样本量小，我们就不敢低估大亏的几率。学生T上那条更肥的尾巴会帮助我们。即便如此，这种分布的肥尾往往不够肥。在罕见的灾难**况下，财务回报往往表现出真正的厚尾损失（即，比分布预测的更厚）。在这一点上损失了大量资金。

β分布

最后，贝塔分布（不要与资本资产定价模型中的贝塔参数混淆）在估计债券投资组合回收率的模型中很受欢迎。beta发行版是发行版的实用玩家。与正常情况一样，它只需要两个参数（alpha和beta），但它们可以组合在一起以获得显著的灵活性。四种可能的beta分布如下所示：

底线

就像我们统计鞋柜里的许多鞋子一样，我们试图选择最适合这个场合的鞋子，但我们真的不知道天气对我们有什么影响。我们可以选择一个正态分布，然后发现它低估了左尾损失；所以我们切换到一个偏态分布，结果发现数据在下一个时期看起来更“正常”。下面优雅的数学可能会诱使你认为这些分布揭示了更深层次的真相，但更可能的是，它们只是人类的人工制品。例如，我们回顾的所有分布都非常平稳，但有些资产回报率不连续地跳跃。

正态分布是无处不在的，它只需要两个参数（均值和分布）。许多其他分布收敛于正态分布（如二项分布和泊松分布）。然而，许多情况下，如对冲基金的回报，信贷组合，严重亏损事件，不值得正态分布。