矩母函数在二项分布中的应用

具有二项式概率分布的随机变量X的均值和方差可能难以直接计算。虽然在使用X和X2的期望值的定义时可以清楚地知道需要做什么，但这些步骤的实际执行是代数和求和的复杂杂耍。确定二项分布的均值和方差的另一种方法是使用X的矩母函数。...

具有二项式概率分布的随机变量X的均值和方差可能难以直接计算。虽然在使用X和X2的期望值的定义时可以清楚地知道需要做什么，但这些步骤的实际执行是代数和求和的复杂杂耍。确定二项分布的均值和方差的另一种方法是使用X的矩母函数。

二项式随机变量

从随机变量X开始，更具体地描述概率分布。进行n个独立的伯努利试验，每个试验的成功概率p和失败概率1-p。因此，概率质量函数是

f（x）=C（n，x）px（1-p）n-x

这里，术语C（n，x）表示每次取x的n个元素的组合的数量，并且x可以取值0，1，2，3。，N

矩母函数

使用该概率质量函数获得X的力矩母函数：

M（t）=∑x=0n etxC（n，x）&gt；）px（1-p）n-x。

很明显，可以将这些项与x的指数组合起来：

M（t）=∑x=0n（pet）xC（n，x）&gt；）（1-p）n-x。

此外，通过使用二项式公式，上述表达式简单如下：

M（t）=[（1-p）+pet]n。

平均数的计算

为了找到均值和方差，您需要同时知道M'（0）和M'（0）。首先计算导数，然后在t=0时计算每一个导数。

你会看到矩母函数的一阶导数是：

M’（t）=n（pet）[（1-p）+pet]n-1。

由此，您可以计算概率分布的平均值。M（0）=n（pe0）[（1-p）+pe0]n-1=np。这与我们直接从均值定义中获得的表达式相匹配。

方差的计算

方差的计算以类似的方式进行。首先，再次微分矩母函数，然后在t=0时求导。你会看到的

M'（t）=n（n-1）（pet）2[（1-p）+pet]n-2+n（pet）[（1-p）+pet]n-1。

要计算此随机变量的方差，需要找到M'（t）。这里有M'（0）=n（n-1）p2+np。分布的方差σ2为

σ2=M'（0）–[M'（0）]2=n（n-1）p2+np-（np）2=np（1-p）。

虽然这种方法有些复杂，但它不像直接从概率质量函数计算均值和方差那样复杂。

发表于 2021-10-08 08:01
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分类：数学

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