繪製概率分佈圖

幾乎不管你對市場的可預測性或效率有什麼看法，你都可能會同意，對於大多數資產來說，保證回報是不確定的或有風險的。如果我們忽略概率分佈的數學基礎，我們可以看到它們是描述不確定性的特定檢視的圖片。概率分佈是一種統計計算，它描述了給定變數在繪圖圖表上的特定範圍內或之間的概率。

不確定性是指隨機性。這與缺乏可預測性或市場效率低下不同。一種新興的研究觀點認為，金融市場既具有不確定性又具有可預測性。此外，市場可以是有效的，但也不確定。

在金融學中，當我們認為資產收益率可以看作是一個隨機變數時，我們用概率分佈來描繪我們對資產收益率敏感性的看法。在本文中，我們將介紹幾種最流行的概率分佈，並向您展示如何計算它們。

根據概率密度函式（PDF）和累積分佈，分佈可以分為離散分佈和連續分佈。

離散分佈與連續分佈

離散是指從一組有限的可能結果中抽取的隨機變數。例如，一個六面模具有六個離散的結果。連續分佈指的是從無限集合中抽取的隨機變數。連續隨機變數的例子包括速度、距離和一些資產回報。離散隨機變數通常用點或破折號表示，而連續變數用實線表示。下圖顯示了正態分佈的離散和連續分佈，平均值（期望值）為50，標準偏差為10：

這個分佈圖試圖描繪不確定性。在這種情況下，結果50是最有可能的，但只會發生約4%的時間；結果為40是一個標準差低於平均值，它將發生在略低於2.5%的時間。

概率密度與累積分佈

另一個區別是概率密度函式（PDF）和累積分佈函式。PDF是指隨機變數達到某一特定值（或在連續變數的情況下，介於某一區間之間）的概率。我們表明，透過指出隨機變數X等於實際值X的概率：

P[x=x]\begin{aligned}&amp；P[x=x]\\結束{對齊}​P[x=x]​

累積分佈是隨機變數X小於或等於實際值X的概率：

P[x&lt=十] \開始{對齊}&amp；P[x&lt；=十] \\\結束{對齊}​P[x&lt=[第X頁]​

或者舉個例子，如果你的身高是一個隨機變數，期望值為5'10英寸（你父母的平均身高），那麼PDF問題是，“你達到5'4英寸的概率是多少？”，相應的累積分佈函式問題是，“你比5'4英寸矮的概率是多少？”

上圖顯示了兩個正態分佈。您現在可以看到這些是概率密度函式（PDF）圖。如果我們重新繪製與累積分佈完全相同的分佈，我們將得到以下結果：

累積分佈最終必須在y軸上達到1.0或100%。如果我們把標準提高到足夠高，那麼在某個時刻，幾乎所有的結果都會落在這個標準之下（我們可以說，分佈通常漸近到1.0）。

金融學是一門社會科學，它不像物理科學那麼乾凈。例如，引力有一個優雅的公式，我們可以一次又一次地依賴它。另一方面，金融資產回報率不可能如此一致地複製。這些年來，聰明人把準確的分佈（即，好像是從物理科學中得出的）與試圖描述財務回報的混亂、不可靠的近似值混淆起來，損失了驚人的金錢。在金融學中，概率分佈只不過是粗略的圖示。

均勻分佈

最簡單和最流行的分佈是均勻分佈，在均勻分佈中，所有結果發生的機會均等。六面模具具有均勻分佈。每個結果的概率約為16.67%（1/6）。我們下麵的圖顯示了實線（因此您可以更好地看到它），但請記住，這是一個離散分佈，您無法滾動2.5或2.11：

現在，將兩個骰子一起擲，如下圖所示，分佈不再均勻。它的峰值為7，恰好有16.67%的幾率。在這種情況下，所有其他結果都不太可能出現：

現在，將三個骰子擲在一起，如下圖所示。我們開始看到一個最驚人的定理的效果：中心極限定理。中心極限定理大膽地承諾，一系列自變數的和或平均值將趨於正態分佈，而不管它們本身的分佈如何。我們的骰子是單獨統一的，但把它們結合起來，當我們新增更多的骰子時，它們的總和幾乎神奇地趨向於我們熟悉的正態分佈。

二項分佈

二項式分佈反映了一系列“非此即彼”的試驗，例如一系列的拋硬幣試驗。這些被稱為伯努利試驗，指的是隻有兩個結果，但你不需要甚至（50/50）的幾率的事件。下麵的二項分佈繪製了一系列10枚硬幣的拋硬幣，其中頭部的概率為50%（p-0.5）。從下圖中可以看出，恰好翻轉五個正面和五個反面（順序無關緊要）的幾率只有25%：

如果二項分佈在你看來是正態的，你是對的。隨著試驗次數的增加，二項分佈趨於正態分佈。

對數正態分佈

對數正態分佈在金融學中非常重要，因為許多最流行的模型都假設股票價格是對數正態分佈的。很容易將資產回報與價格水平混淆。

資產回報率通常被視為正常——一隻股票可以上漲10%，也可以下跌10%。價格水平通常被視為對數正態分佈——一隻10美元的股票可以漲到30美元，但不能跌到10美元。對數正態分佈是非零的，並且向右傾斜（同樣，一隻股票不能跌到0美元以下，但它沒有理論上的上漲限制）：

泊松

泊松分佈用於描述某個事件（例如，日投資組合損失低於5%）在一個時間間隔內發生的概率。因此，在下麵的示例中，我們假設某個操作過程的錯誤率為3%。我們進一步假設100個隨機試驗；泊松分佈描述了在一段時間內（例如一天）出現一定數量錯誤的可能性。

學生的t

學生的T分佈也很流行，因為它有一個稍微“胖尾巴”比正態分佈。當我們的樣本量很小（即小於30）時，通常使用學生的T。在金融學中，左尾代表損失。因此，如果樣本量小，我們就不敢低估大虧的幾率。學生T上那條更肥的尾巴會幫助我們。即便如此，這種分佈的肥尾往往不夠肥。在罕見的災難**況下，財務回報往往表現出真正的厚尾損失（即，比分佈預測的更厚）。在這一點上損失了大量資金。

β分佈

最後，貝塔分佈（不要與資本資產定價模型中的貝塔引數混淆）在估計債券投資組合回收率的模型中很受歡迎。beta發行版是發行版的實用玩家。與正常情況一樣，它只需要兩個引數（alpha和beta），但它們可以組合在一起以獲得顯著的靈活性。四種可能的beta分佈如下所示：

底線

就像我們統計鞋櫃裡的許多鞋子一樣，我們試圖選擇最適合這個場合的鞋子，但我們真的不知道天氣對我們有什麼影響。我們可以選擇一個正態分佈，然後發現它低估了左尾損失；所以我們切換到一個偏態分佈，結果發現資料在下一個時期看起來更“正常”。下麵優雅的數學可能會誘使你認為這些分佈揭示了更深層次的真相，但更可能的是，它們只是人類的人工製品。例如，我們回顧的所有分佈都非常平穩，但有些資產回報率不連續地跳躍。

正態分佈是無處不在的，它只需要兩個引數（均值和分佈）。許多其他分佈收斂於正態分佈（如二項分佈和泊松分佈）。然而，許多情況下，如對沖基金的回報，信貸組合，嚴重虧損事件，不值得正態分佈。