在金融領域，由於潛在結果的多樣性，在估計數字或金額的未來價值時存在相當多的不確定性和風險。蒙特卡羅模擬（MCS）是一種有助於減少估計未來結果的不確定性的技術。MCS可以應用於複雜的非線性模型，也可以用來評估其他模型的精度和效能。它還可以應用於風險管理、投資組合管理、衍生產品定價、戰略規劃、專案規劃、成本建模等領域。

定義

MCS是一種將模型輸入變數中的不確定性轉化為概率分佈的技術。透過組合分佈並從中隨機選取值，多次重新計算模擬模型並給出輸出概率。

基本特徵

• MCS允許同時使用多個輸入來建立一個或多個輸出的概率分佈。
• 不同型別的概率分佈可以分配給模型的輸入。當分佈未知時，可以選擇代表最佳擬合的分佈。
• 隨機數的使用將MCS描述為一種隨機方法。隨機數必須是獨立的；它們之間不應存在相關性。
• MCS將輸出生成為一個範圍而不是一個固定值，並顯示輸出值在該範圍內出現的可能性。

mcs中常用的幾種概率分佈

正態分佈/高斯分佈–在給定平均值和標準偏差且平均值代表變數最可能值的情況下應用的連續分佈。它是圍繞平均數對稱的，沒有邊界。

對數正態分佈——按平均值和標準偏差規定的連續分佈。這適用於從零到無窮大、正傾斜且具有正分佈自然對數的變數。

三角分佈–具有固定最小值和最大值的連續分佈。它由最小值和最大值限定，可以是對稱的（最可能值=平均值=中間值）或不對稱的。

均勻分佈–由已知最小值和最大值限定的連續分佈。與三角分佈相比，出現最小值和最大值之間的值的可能性是相同的。

指數分佈–連續分佈，用於說明獨立事件之間的時間間隔，前提是事件發生率已知。

mcs背後的數學

假設我們有一個實值函式g（X）和概率頻率函式P（X）（如果X是離散的），或者概率密度函式f（X）（如果X是連續的）。然後我們可以分別用離散項和連續項定義g（X）的期望值：

E（g（X））=∑−∞+∞g（x）P（x），其中P（x）&gt；0和∑−∞+∞P（x）=1E（g（x））=∫−∞+∞g（x）f（x）dx，其中f（x）&gt；0和∫−∞+∞f（x）dx=1下一步，隨機繪製，稱為dnx（x1，…，xn）試執行或模擬執行，計算g（x1），…，g（xn）\begin{aligned}&amp；E（g（X））=\sum^{+\infty}{-\infty}g（X）P（X），\\&amp\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{where}P（x）&gt；0\text{and}\sum^{+\infty}{-\infty}P（x）=1\\&amp；E（g（X））=\int^{+\infty}{-\infty}g（X）f（X）\，dx，\\&amp\qquad\qquad\qquad\qquad\text{where}f（x）&gt；0\text{and}\int^{+\infty}{-\infty}f（x）\，dx=1\\&amp\text{下一步，對$X（X\u 1，\ldots，X\u n）$隨機繪製$n$，稱為}\\&amp\text{試執行或模擬執行，計算$g（x\u 1），\ldots，g（x\u n）$}\\&amp\text{並找到示例的$g（x）$的平均值：}\end{aligned}​E（g（X））=−∞∑+∞​g（x）P（x），其中P（x）&gt；0和−∞∑+∞​P（x）=1E（g（x））=∫−∞+∞​g（x）f（x）dx，其中f（x）&gt；0和∫−∞+∞​f（x）dx=1下一步，隨機畫n張x（x1​,…,新​), 稱為試驗執行或模擬執行，計算g（x1​),…,g（新）​)​

gn公司μ(x） =1n∑i＝1nG（席），表示E（G（x））的最終模擬值。μ(十） =1n∑i=1ng（X）將是E（g（X））的蒙特卡羅估計量→∞,gn公司μ(十）→E（g（X）），因此我們現在能夠用gn的無偏方差計算估計平均值周圍的離差μ(十） ：\begin{aligned}&amp；g^\mu\u n（x）=\frac{1}{n}\sum^n\u{i=1}g（x\u i），\text{表示最終模擬的}\\&amp\文字{value of}E（g（X））。\\\\&amp\text{some}g^\mu\u n（X）=\frac{1}{n}\sum^n{i=1}g（X）\text{將是蒙特卡羅}\\&amp\文字{E（g（X））的估計量。\\\\&amp\text{As}n\to\infty，g^\mu\n（X）\to E（g（X）），\text{因此我們現在可以}\\&amp\text{使用}\\&amp；計算估計平均值周圍的離差\text{無偏方差}g^\mu（X）\text{：}\\&amp；Var（g^\mu n（X））=\frac{1}{n-1}\sum^n{i=1}（g（X{i）-g^\mu n（X））^2。\end{aligned}​gn公司μ​(x） =n1​i=1∑n​G（席）​), 它表示E（g（X））的最終模擬值。因此μ​(十） =n1​i=1∑n​g（X）將是E（g（X））的蒙特卡羅估計量→∞,gn公司μ​(十）→E（g（X）），因此我們現在能夠用gn的無偏方差計算估計平均值周圍的離差μ​(十） 地址：​

簡單的例子

單價、單位銷售和可變成本的不確定性將如何影響息稅前利潤？

版權單位銷售）-（可變成本+固定成本）

讓我們用三角分佈來解釋輸入的不確定性——單價、單位銷售額和可變成本，三角分佈由表中輸入的相應最小值和最大值指定。

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靈敏度圖

當分析輸入對輸出的影響時，靈敏度圖非常有用。它所說的是，單位銷售佔模擬息稅折舊攤銷前利潤差異的62%，可變成本佔28.6%，單價為9.4%。單位銷售與息稅前利潤之間以及單價與息稅前利潤之間的相關性為正，或單位銷售額或單價的增加將導致息稅折舊攤銷前利潤的增加。另一方面，可變成本與息稅前利潤呈負相關，透過降低可變成本，我們將增加息稅折舊攤銷前利潤。

版權

請註意，用與實際值不符的概率分佈來定義輸入值的不確定性，並從中取樣，將得到不正確的結果。此外，假設輸入變數是獨立的可能是無效的。誤導性結果可能來自相互排斥的輸入，或者如果在兩個或多個輸入分佈之間發現顯著相關性。

底線

MCS技術簡單靈活。它不能消除不確定性和風險，但透過將概率特性歸因於模型的輸入和輸出，可以使它們更容易理解。它對於確定影響預測變數的不同風險和因素非常有用，因此，它可以導致更準確的預測。還要註意的是，試驗的數量不應該太小，因為它可能不足以模擬模型，從而導致出現值的聚類。