排队论是对排队或排队等候的数学研究。队列包含客户（或“项目”），如人员、对象或信息。当提供服务的资源有限时，就会形成队列。例如，如果一家杂货店有5台现金收银机，如果超过5位顾客希望同时付款，就会形成排队。

基本排队系统由到达流程（客户如何到达队列、总共有多少客户）、队列本身、服务流程（为这些客户提供服务）和离开系统组成。

数学排队模型通常用于软件和商业中，以确定使用有限资源的最佳方式。排队模型可以回答以下问题：客户排队等待10分钟的概率是多少？每位客户的平均等待时间是多少？

以下情况是如何应用排队理论的示例：

• 在银行或商店排队等候
• 等待客户服务代表在电话挂起后接听电话
• 等火车来
• 等待计算机执行任务或响应
• 等待自动洗车机清洗一排汽车

排队系统的特征

排队模型分析客户（包括人员、对象和信息）如何接收服务。排队系统包括：

• 到达过程。到达过程就是客户如何到达的过程。他们可能单独或成组排队，也可能以一定的间隔或随机到达。
• 行为客户排队时的行为如何？有些人可能愿意排队等候；其他人可能会变得不耐烦而离开。然而，其他人可能会决定稍后重新加入队列，例如当他们被客户服务部门暂停时，决定回电话希望得到更快的服务。
• 如何为客户提供服务。这包括为客户提供服务的时间长度、可用于帮助客户的服务器数量、是逐个还是分批为客户提供服务，以及为客户提供服务的顺序，也称为服务规程。
• 服务规程是指选择下一个客户的规则。虽然许多零售场景采用“先到先得”规则，但其他情况可能需要其他类型的服务。例如，可以按照优先级顺序或根据客户需要服务的物品数量（例如在杂货店的快速通道中）为客户提供服务。有时，最后一个到达的顾客会先被端上来（比如在一堆脏盘子里，上面的那个会是第一个被洗的）。
• 候诊室允许在队列中等待的客户数量可能会根据可用空间进行限制。

排队论的数学

Kendall的符号是一种简写符号，用于指定基本排队模型的参数。肯德尔的符号以A/s/c/B/N/D的形式书写，其中每个字母代表不同的参数。

• A术语描述客户何时到达队列，特别是到达间隔时间或到达间隔时间。从数学上讲，此参数指定到达间隔时间遵循的概率分布。一种常见的用于A项的概率分布是泊松分布。
• S术语描述客户离开队列后需要多长时间才能得到服务。从数学上讲，此参数指定这些服务时间遵循的概率分布。泊松分布也常用于S项。
• c术语指定排队系统中的服务器数量。该模型假设系统中的所有服务器都是相同的，因此它们都可以用上面的S术语来描述。
• B术语指定系统中可以包含的项目总数，包括仍在队列中的项目和正在服务的项目。尽管现实世界中许多系统的容量有限，但如果将此容量视为无限，则模型更易于分析。因此，如果系统的容量足够大，则通常假定系统是无限的。
• N项指定潜在客户的总数，即可能进入排队系统的客户数量，可以认为是有限的或无限的。
• D术语规定了排队系统的服务原则，如先到先得或后进先出。

首先由数学家约翰·利特尔证明的利特尔定律指出，队列中项目的平均数量可以通过将项目到达系统的平均速度乘以它们在系统中花费的平均时间来计算。

• 在数学记数法中，利特尔定律是：L=λW
• L是物品的平均数量，λ是物品在排队系统中的平均到达率，W是物品在排队系统中花费的平均时间。
• 利特尔定律假设系统处于“稳定状态”——表征系统的数学变量不随时间变化。

尽管Little定律只需要三个输入，但它非常通用，可以应用于许多排队系统，而不管队列中的项目类型或队列中处理项目的方式。利特尔定律在分析队列在一段时间内的执行情况时非常有用，或者可以快速评估队列当前的执行情况。

例如：一家鞋盒公司想要计算出仓库中储存的鞋盒的平均数量。该公司知道，进入仓库的箱子的平均到货率为1000个鞋盒/年，他们在仓库的平均时间约为3个月，或一年的¼个月。因此，仓库中鞋盒的平均数量为（1000个鞋盒/年）x（¼年）或250个鞋盒。

关键外卖

• 排队论是对排队或排队等候的数学研究。
• 队列包含“客户”，如人员、对象或信息。当提供服务的资源有限时，就会形成队列。
• 排队论可以应用于从在杂货店排队到等待计算机执行任务的各种情况。它通常用于软件和业务应用程序，以确定使用有限资源的最佳方式。
• 肯德尔的符号可用于指定排队系统的参数。
• 利特尔定律是一个简单但通用的表达式，可以快速估计队列中的平均项目数。

来源

• 排队论
• 随机性能建模〉，2008年。
• Lilja，D.《测量计算机性能：从业者指南》，2005年。
• 第5章：利特尔定律〉，《构建直觉：来自基本运营管理模型和原则的见解》。斯普林格科学+商业媒体，2008年。
• Mulholland，B.“利特尔定律：如何分析你的过程（隐形轰炸机）。”Process.st，2017。