期望值公式
一个关于概率分布的自然问题是，“它的中心是什么？”期望值就是这样一个概率分布中心的度量。因为它测量的是平均数，所以毫不奇怪这个公式是从平均数公式推导出来的。
为了建立一个起点，我们必须回答这个问题，“期望值是多少？”假设我们有一个随机变量与概率实验相关。假设我们一遍又一遍地重复这个实验。在同一概率实验的多次重复中，如果我们将随机变量的所有值取平均值，我们将得到期望值。
在下面的内容中，我们将看到如何使用期望值的公式。我们将研究这两个问题离散和连续设置，并查看公式中的异同。
离散随机变量的计算公式
我们从分析离散情况开始。给定一个离散随机变量X，假设它的值为x1，x2，x3。xn，以及p1、p2、p3。请注意。也就是说，这个随机变量的概率质量函数给出f（xi）=pi。
X的预期值由以下公式给出：
E（X）=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn。
使用概率质量函数和求和符号，我们可以更简洁地写出以下公式，其中求和取指数i：
E（X）=∑xif（xi）。
这个公式的版本很有帮助，因为当我们有一个无限的样本空间时，它也可以工作。对于连续情况，此公式也可以轻松调整。
一个例子
把一枚硬币掷三次，让X表示人头数。随机变量X是离散有限的。我们能得到的唯一可能的值是0、1、2和3。对于X=0，概率分布为1/8，对于X=1，概率分布为3/8，对于X=2，概率分布为3/8，对于X=3，概率分布为1/8。使用期望值公式可获得：
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
在这个例子中，我们看到，从长远来看，我们将从这个实验中平均得到总共1.5个头。这对我们的直觉是有意义的，因为3的一半是1.5。
连续随机变量的计算公式
现在我们来看一个连续的随机变量，我们将用X表示。我们将用函数f（X）给出X的概率密度函数。
X的预期值由以下公式给出：
E（X）=∫ xf（x）dx。
这里我们看到随机变量的期望值被表示为一个积分。
期望值的应用
随机变量的期望值有许多应用。这个公式在圣彼得堡悖论中出现了一个有趣的现象。
- 发表于 2021-10-03 02:27
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- 分类：数学
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