你在狂欢节上，你看到了一场游戏。只需2美元，你就可以推出一个标准的六面模具。如果显示的数字是6，您将赢得10美元，否则，您将一无所获。如果你想赚钱，玩游戏对你有利吗？要回答这样的问题，我们需要期望值的概念。

期望值实际上可以看作是随机变量的平均值。这意味着，如果您反复运行概率实验，跟踪结果，则期望值是所有获得值的平均值。期望值是你应该在一场机会游戏的多次尝试中预期发生的事情。

如何计算期望值

上面提到的狂欢节游戏是一个离散随机变量的例子。变量不是连续的，每个结果都以一个数字呈现给我们，可以从其他结果中分离出来。要找到具有结果x1、x2、…，的游戏的预期值。，概率为p1，p2，…，的xn，pn，计算：

x1p1+x2p2+…+xnpn。

在上面的游戏中，你有5/6的几率一无所获。这个结果的价值是-2，因为你花了2美元玩这个游戏。6有1/6的概率出现，这个值​结果是8。为什么是8而不是10？我们需要再次说明我们为比赛支付的2美元，10-2=8。

现在，将这些值和概率插入期望值公式，结果为：-2（5/6）+8（1/6）=-1/3。这意味着从长远来看，每次玩这个游戏时，平均损失约33美分。是的，你有时会赢。但你会经常输。

重温嘉年华游戏

现在，假设狂欢节游戏已被稍微修改。同样的2美元的入场费，如果显示的数字是6，那么你将赢得12美元，否则，你将一无所获。这个游戏的期望值是-2（5/6）+10（1/6）=0。从长远来看，你不会输任何钱，但你不会赢任何钱。不要期望在当地的狂欢节上看到这些数字的游戏。如果从长远来看，你不会损失任何金钱，那么狂欢节就不会有任何收益。

赌场的预期价值

现在转到赌场。和以前一样，我们可以计算轮盘赌等机会游戏的预期价值。在美国，一个轮盘赌轮有38个编号为1到36、0和00的插槽。1-36的一半是红色，一半是黑色。0和00都是绿色的。一个球随机落在其中一个插槽中，并在球将落在的位置下注。

最简单的赌注之一是在红色上下注。在这里，如果你下注1美元，球落在轮子上的红色数字上，那么你将赢得2美元。如果球落在轮子上的黑色或绿色空间上，那么你将一无所获。像这样的赌注的期望值是多少？由于有18个红色空格，因此有18/38的概率获胜，净收益为1美元。有20/38的概率输掉1美元的初始赌注。轮盘赌的预期值为1（18/38）+（-1）（20/38）=-2/38，约为5.3美分。这里的房子有一个轻微的优势（与所有的赌场游戏一样）。

期望值与彩票

作为另一个例子，考虑彩票。虽然一张1美元的彩票可以赢得数百万美元的奖金，但彩票游戏的预期价值表明它是多么不公平。假设为1美元，你从1到48中选择了6个数字。正确选择所有6个数字的概率为1/12271512。如果你因为六个数字都正确而中奖100万美元，那么这张彩票的预期价值是多少？可能的价值是-$1输球和$999999赢球（同样，我们必须考虑到比赛的成本，并从赢球中减去这个）。这给了我们一个预期值：

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

因此，如果你一次又一次地玩彩票，从长远来看，你每次玩彩票都会损失92美分——几乎是你全部的彩票价格。

连续随机变量

上述所有示例都是针对离散随机变量的。但是，也可以定义连续随机变量的期望值。在这种情况下，我们所要做的就是用一个积分来代替公式中的求和。

从长远来看

重要的是要记住，期望值是随机过程多次试验后的平均值。在短期内，随机变量的平均值可能与预期值存在显著差异。