在一组数据中，有各种各样的描述性统计。平均值、中值和模式都给出了数据中心的测量值，但它们的计算方式不同：

• 通过将所有数据值相加，然后除以值的总数来计算平均值。
• 中位数的计算方法是按升序列出数据值，然后在列表中找到中间值。
• 通过计算每个值出现的次数来计算模式。频率最高的值是模式。

表面上看，这三个数字之间似乎没有联系。然而，事实证明，这些中心指标之间存在经验关系。

理论与经验

在我们继续之前，重要的是要理解我们在提到实证关系时所谈论的内容，并将其与理论研究进行对比。统计学和其他知识领域的一些结果可以从以前的一些陈述中以理论的方式推导出来。我们从我们所知道的开始，然后运用逻辑、数学和演绎推理，看看这会把我们引向何方。结果是其他已知事实的直接结果。

与理论相对应的是获取知识的经验方式。我们可以观察我们周围的世界，而不是根据已经确立的原则进行推理。从这些观察中，我们可以对我们所看到的做出解释。很多科学都是这样做的。实验给我们提供了经验数据。然后，目标就变成了制定一个适合所有数据的解释。

经验关系

在统计学中，均值、中位数和模式之间存在一种基于经验的关系。对无数数据集的观察表明，大多数情况下，平均值和模式之间的差异是平均值和中值之间差异的三倍。该方程形式的关系为：

平均值-模式=3（平均值-中位数）。

实例

为了了解上述与真实世界数据的关系，让我们看看2010年美国各州的人口。以百万计，人口为：加利福尼亚-36.4，德克萨斯-23.5，纽约-19.3，佛罗里达-18.1，伊利诺伊-12.8，宾夕法尼亚-12.4，俄亥俄-11.5，密歇根-10.1，乔治亚-9.4，北卡罗来纳-8.9，新泽西-8.7，弗吉尼亚-7.6，马萨诸塞-6.4，华盛顿-6.4，印第安纳-6.3，亚利桑那-6.2，田纳西-6.0，密苏里-5.8，马里兰州-5.6，威斯康星州-5.6，明尼苏达州-5.2，科罗拉多州-4.8，阿拉巴马州-4.6，南卡罗来纳州-4.3，路易斯安那州-4.3，肯塔基州-4.2，俄勒冈州-3.7，俄克拉荷马州-3.6，康涅狄格州-3.5，爱荷华州-3.0，密西西比州-2.9，阿肯色州-2.8，堪萨斯州-2.8，犹他州-2.6，内华达州-2.5，新墨西哥州-2.0，西弗吉尼亚州-1.8，内布拉斯加州-1.8，爱达荷州-1.5，缅因州-1.3，新罕布什尔州-1.3，夏威夷州-1.3，罗德岛州-1.1，蒙大拿州-9，特拉华州-9，南达科他州-8，阿拉斯加-7，北达科他州-6，佛蒙特州-6，怀俄明州-5

平均人口为600万。中位人口为425万。模式为130万。现在，我们将计算上述差异：

• 平均值–模式=600万–130万=470万。
• 3（平均值-中位数）=3（600万-425万）=3（175万）=525万。

虽然这两个差异数字并不完全匹配，但它们彼此相对接近。

应用

上述公式有几个应用程序。假设我们没有数据值列表，但知道均值、中位数或模式中的任意两个。上述公式可用于估算第三个未知量。

例如，如果我们知道我们的平均值是10，模式是4，那么我们的数据集的中位数是多少？由于平均-模式=3（平均-中位数），我们可以说10-4=3（10-中位数）。通过一些代数，我们看到2=（10-中位数），所以我们数据的中位数是8。

上述公式的另一个应用是计算偏度。由于偏度测量平均值和模式之间的差异，因此我们可以计算3（平均值-模式）。为了使这个量无量纲化，我们可以用标准偏差除以它，以提供一种计算偏度的替代方法，而不是在统计学中使用矩。

一句警告的话

如上所述，上述关系并不精确。相反，这是一个很好的经验法则，类似于范围法则，它在标准偏差和范围之间建立了一个近似的联系。平均值、中位数和模式可能不完全符合上述经验关系，但很有可能会相当接近。