数学中的一个策略是从几个语句开始，然后从这些语句中建立更多的数学。开头的语句称为公理。公理通常是数学上不言而喻的东西。从相对较短的公理列表中，演绎逻辑被用来证明其他语句，称为定理或命题。

被称为概率的数学领域也不例外。概率可以简化为三个公理。这是数学家安德烈·科尔莫戈罗夫首先完成的。为数不多的基本概率公理可以用来推断各种结果。但这些概率公理是什么？

定义和准备工作

为了理解概率公理，我们必须首先讨论一些基本的定义。我们假设我们有一组结果称为样本空间S。这个样本空间可以被认为是我们正在研究的情况的通用集。样本空间由称为事件E1、E2、…、。，EN

我们还假设有一种方法可以将概率分配给任何事件E。这可以被认为是一个函数，它有一个输入集，一个实数作为输出。事件E的概率用P（E）表示。

公理一

概率的第一个公理是，任何事件的概率都是非负实数。这意味着概率的最小值是零，它不可能是无限的。我们可以使用的一组数字是实数。这既指有理数，也称为分数，也指不能写成分数的无理数。

需要注意的一点是，这个公理并没有说明事件发生的概率有多大。该公理确实消除了负概率的可能性。它反映了为不可能发生的事件保留的最小概率为零的概念。

公理二

概率的第二个公理是，整个样本空间的概率为1。我们象征性地写P（S）=1。这个公理中隐含的概念是样本空间是我们概率实验的一切可能，样本空间之外没有事件。

就其本身而言，该公理并未对并非整个样本空间的事件的概率设置上限。它确实反映了绝对确定的事物有100%的概率。

公理三

概率的第三条公理处理相互排斥的事件。如果E1和E2是互斥的，这意味着它们有一个空的交点，我们用U表示并集，那么P（E1 U E2）=P（E1）+P（E2）。

该公理实际上涵盖了多个（甚至可数无限）事件的情况，每对事件都是相互排斥的。只要发生这种情况，事件合并的概率与概率之和相同：

P（E1 U E2 U…U En）=P（E1）+P（E2）+…+EN

虽然这第三条公理看起来可能没有那么有用，但我们将看到，与其他两条公理结合起来，它确实非常强大。

axiom应用

这三条公理为任何事件的概率设定了上限。我们用EC表示事件E的补码。根据集合论，E和EC有一个空的交集，并且是互斥的。此外，E U EC=S，整个样本空间。

这些事实与公理相结合，为我们提供了：

1=P（S）=P（EUEC）=P（E）+P（EC）。

我们重新排列上面的方程，看到P（E）=1-P（EC）。因为我们知道概率必须是非负的，所以现在任何事件的概率上限为1。

通过重新排列公式，我们得到了P（EC）=1-P（E）。我们也可以从这个公式中推断，事件不发生的概率是1减去它确实发生的概率。

上面的等式也为我们提供了一种计算不可能事件概率的方法，用空集表示。要了解这一点，请回想一下，空集是通用集的补集，在本例中是SC。因为1=P（S）+P（SC）=1+P（SC），通过代数我们得到P（SC）=0。

进一步应用

以上只是几个可以直接从公理证明的性质的例子。概率方面还有更多的结果。但所有这些定理都是概率三公理的逻辑延伸。