如何用概率证明补码规则(prove the complement rule in probability)
从概率公理可以推导出几个概率定理。这些定理可以用来计算我们可能想知道的概率。一个这样的结果称为补码规则。此语句允许我们通过知道补码AC的概率来计算事件A的概率。在说明补码规则后，我们将看到如何证明此结果。
补语规则
事件A的补码用AC表示。A的补码是通用集合或样本空间S中所有元素的集合，这些元素不是集合A的元素。
补码规则由以下等式表示：
P（AC）=1–P（A）
这里我们看到一个事件的概率和它的补码的概率之和必须为1。
补码规则的证明
为了证明补码规则，我们从概率公理开始。这些陈述是假设的，没有证据。我们将看到，它们可以被系统地用来证明我们关于事件补码概率的陈述。
- 概率的第一个公理是，任何事件的概率都是非负实数。
- 概率的第二个公理是，整个样本空间S的概率为1。我们象征性地写P（S）=1。
- 第三个概率公理表明，如果A和B相互排斥（意味着它们有一个空的交点），那么我们将这些事件并集的概率表示为P（A U B）=P（A）+P（B）。
对于补码规则，我们不需要使用上面列表中的第一条公理。
为了证明我们的陈述，我们考虑事件A.和AC.从集合论，我们知道这两个集合具有空交。这是因为一个元素不能同时在A和非A中。因为有一个空的交集，这两个集合是互斥的。
两个项目A和AC的结合也很重要。这些事件构成了详尽的事件，这意味着这些事件的并集是所有样本空间S。
这些事实，再加上公理，给了我们一个方程式
1=P（S）=P（A U AC）=P（A）+P（AC）。
第一个等式是由于第二个概率公理。第二个等式是因为事件A和AC是详尽的。第三个等式是因为第三个概率公理。
上述方程式可以重新排列成我们上面所说的形式。我们所要做的就是从方程两边减去A的概率。因此
1=P（A）+P（AC）
成为方程式
P（AC）=1–P（A）。
当然，我们也可以这样表述规则：
P（A）=1–P（AC）。
这三个方程都是表达同一事物的等效方法。我们从这个证明中看到，仅仅两个公理和一些集合论就可以帮助我们证明关于概率的新陈述。
- 发表于 2021-10-09 19:25
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- 分类：数学
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