什么是集合论中的空集？(the empty set in set theory?)

什么时候什么都不是？这似乎是一个愚蠢的问题，而且相当矛盾。在集合论的数学领域里，没有东西就是没有东西是一种惯例。这怎么可能？...

什么时候什么都不是？这似乎是一个愚蠢的问题，而且相当矛盾。在集合论的数学领域里，没有东西就是没有东西是一种惯例。这怎么可能？

当我们形成一个没有元素的集合时，我们就不再一无所有。我们有一套里面什么都没有的。不包含任何元素的集合有一个特殊名称。这称为空集或空集。

细微的差别

空集合的定义非常微妙，需要一点思考。重要的是要记住，我们认为集合是元素的集合。集合本身与它包含的元素不同。

例如，我们将查看{5}，它是一个包含元素5的集合。集合{5}不是一个数字。它是一个以数字5为元素的集合，而5是一个数字。

同样，空集也不是什么都不是。相反，它是一个没有元素的集合。它有助于将集合视为容器，元素就是我们放入其中的那些东西。空容器仍然是一个容器，类似于空集。

空集的唯一性

空集是唯一的，这就是为什么谈论空集而不是空集是完全合适的。这使得空集合与其他集合不同。有无限多个集合，其中有一个元素。集合{a}、{1}、{b}和{123}各有一个元素，因此它们彼此等价。由于元素本身彼此不同，因此集合不相等。

上面的例子没有什么特别之处，每个例子都有一个元素。除了一个例外，对于任何计数数或无穷大，都有无穷多个相同大小的集合。数字0是个例外。只有一个集合，即空集合，其中没有任何元素。

这一事实的数学证明并不困难。我们首先假设空集不是唯一的，有两个集合中没有元素，然后使用集合论中的一些性质来证明这个假设隐含着矛盾。

空集的符号和术语

空集由符号表示∅, 它来自丹麦字母表中类似的符号。有些书用空集合的另一个名称null set来引用空集合。

空集的性质

由于只有一个空集，所以值得注意的是，当集合、交和补集的集合运算与空集一起使用时，我们将用X表示一个一般集。考虑空集的子集以及空集是什么子集也是有趣的。这些事实收集如下：

任何集合与空集的交集都是空集。这是因为空集合中没有元素，因此这两个集合没有共同的元素。在符号中，我们写X∩ ∅ = ∅.
任何集合与空集合的并集就是我们开始使用的集合。这是因为在空集合中没有元素，所以在形成并集时，我们不会向另一个集合添加任何元素。我们用符号写xu∅ = 十,。
空集的补集是我们正在使用的设置的通用集。这是因为不在空集合中的所有元素的集合就是所有元素的集合。
空集是任何集合的子集。这是因为我们通过从X中选择（或不选择）元素来形成集合X的子集。子集的一个选项是完全不使用来自X的元素。这就得到了空集。

发表于 2021-10-09 19:26
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分类：数学

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