不可数无穷集的例子
并非所有的无限集合都是相同的。区分这些集合的一种方法是询问集合是否可数无限。这样，我们就可以说无限集不是可数就是不可数。我们将考虑无穷集的几个例子，并确定其中哪些是不可数的。
可数无限
我们首先排除几个无限集的例子。许多我们马上想到的无限集合被发现是可数无限的。这意味着它们可以与自然数一一对应。
自然数、整数和有理数都是可数无限的。可数无限集的任何并集或交集也是可数的。任何数量的可数集的笛卡尔积都是可数的。可数集的任何子集也是可数的。
不可数的
引入不可数集最常用的方法是考虑实数的区间（0，1）。根据这个事实，一对一函数f（x）=bx+a。证明实数的任何区间（a，b）都是不可数无限的，这是一个简单的推论。
整组实数也是不可数的。说明这一点的一种方法是使用一对一的切线函数f（x）=tan x。这个函数的域是区间（-π/2，π/2），一个不可数的集合，范围是所有实数的集合。
其他不可数集
基本集合论的运算可用于生成更多不可数无穷集合的示例：
- 如果A是B的子集，A是不可数的，那么B也是不可数的。这提供了一个更直接的证明，证明了整组实数是不可数的。
- 如果A是不可数且B是任意集，则联合A U B也是不可数的。
- 如果A是不可数且B是任意集，则笛卡尔积A x B也是不可数的。
- 如果A是无限的（甚至是可数无限的），那么A的幂集是不可数的。
另外两个相互关联的例子有些令人惊讶。并非实数的每个子集都是不可数无限的（事实上，有理数形成了实数的一个可数子集，也是稠密的）。某些子集是不可数无限的。
其中一个不可数无穷子集涉及某些类型的十进制展开。如果我们选择两个数字，并用这两个数字构成每一个可能的十进制展开式，那么得到的无穷集是不可数的。
另一个集合的构造更为复杂，也是不可数的。从闭合间隔[0,1]开始。移除此集合的中间三分之一，生成[0,1/3]U[2/3,1]。现在把剩下的每一块中间的三分之一都取下来。所以（1/9，2/9）和（7/9，8/9）被移除。我们继续这样做。移除所有这些间隔后剩余的点集不是一个间隔，但是，它是不可数无限的。这个集合称为康托集合。
有无限多个不可数集，但上面的例子是一些最常见的集合。
- 发表于 2021-10-20 16:30
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- 分类：数学
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