如何使用余弦规则(use the cosine rule)

余弦规则是三角学中常用的规则。它可以用于调查非直角三角形的属性，从而允许您查找缺少的信息，例如边长和角度测量。这个公式类似于毕达哥拉斯定理，相对容易记忆。余弦规则规定，对于任何三角形，c2=a2+b2−2abcos⁡C{\displaystyle C^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}。...

方法1方法1/3：查找缺失的边长

1评估你所知道的价值观。要找到三角形缺少的边长，你需要知道其他两条边的长度，以及它们之间夹角的大小。例如，可能有三角形XYZ。YX侧长5厘米。YZ侧长9厘米。Y角是89度。XZ面有多长？

2设置余弦规则的公式。这也被称为余弦定律。公式为c2=a2+b2−2abcos⁡C{\displaystyle C^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}。在这个公式中，c{\displaystyle c}等于缺失的边长，cos⁡C{\displaystyle\cos{C}}等于与缺失边长相对的角的余弦。变量a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}是两条已知边的长度。

$c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$

$\cos {C}$

3将已知值填入公式中。变量a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}是两个已知的边长。变量C{\displaystyle C}是已知的角度，它应该是a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}之间的角度。例如，由于缺少边XZ的长度，因此该边长度将代表公式中的c{\displaystyle c}。因为边YX和YZ是已知的，所以这两条边的长度将是a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}。哪一方是哪一个变量并不重要。变量C{\displaystyle C}是角度Y。所以，你的公式应该是这样的：c2=52+92−2（5）（9）cos⁡89{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2（5）（9）\cos{89}。

$c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)\cos {89}$

4求已知角度的余弦。使用计算器的余弦函数进行此操作。只需输入角度测量值，然后点击COS{\displaystyle COS}按钮。如果你没有科学计算器，你可以在网上找到一个余弦表，比如物理实验室网站上的余弦表。你也可以简单地在谷歌中输入“cosine x degrees”（用角度代替x），搜索引擎将返回计算结果。例如，89的余弦约为0.01745。所以，把这个值插入你的公式：c2=52+92−2（5）（9）（0.01745）{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2（5）（9）（0.01745）}。

$c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)(0.01745)$

5完成必要的乘法运算。将2ab{\displaystyle 2ab}乘以已知角度的余弦。例如：c2=52+92−2（5）（9）（0.01745）{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2（5）（9）（0.01745）}c2=52+92−1.5707{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-1.5707}

$c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-2(5)(9)(0.01745)$

$c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-1.5707$

6添加已知边的正方形。记住，当你把一个数字平方时，你要把它本身相乘。先把这两个数字平方，然后把它们相加。例如：c2=52+92−1.5707{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-1.5707}c2=25+81−1.5707{\displaystyle c^{2}=25+81-1.5707}c2=106−1.5707{\displaystyle c^{2}=106-1.5707}

$c^{{2}}=5^{{2}}+9^{{2}}-1.5707$

$c^{{2}}=25+81-1.5707$

$c^{{2}}=106-1.5707$

7减去这两个值。这将为您提供c2{\displaystyle c^{2}的值。例如：c2=106−1.5707{\displaystyle c^{2}=106-1.5707}c2=104.4293{\displaystyle c^{2}=104.4293}

$c^{{2}}$

$c^{{2}}=106-1.5707$

$c^{{2}}=104.4293$

8取差值的平方根。这一步可能需要使用计算器，因为求平方根的数字有很多小数位。平方根等于三角形缺边的长度。例如：c2=104.4293{\displaystyle c^{2}=104.4293}c2=104.4293{\displaystyle{\sqrt{c^{2}}}={\sqrt{104.4293}}c=10.2191{\displaystyle c=10.2191}，因此，缺失的边长c{\displaystyle c}为10.2191厘米。

$c^{{2}}=104.4293$

${\sqrt {c^{{2}}}}={\sqrt {104.4293}}$

方法2方法2/3：寻找缺失的角度

1评估你所知道的价值观。要使用余弦规则找到三角形缺失的角度，需要知道三角形所有三条边的长度。例如，您可能有三角形RST。侧面SR长8厘米。侧壁有10厘米长。侧面RT长12厘米。角S的测量是什么？

2设置余弦规则的公式。公式为c2=a2+b2−2abcos⁡C{\displaystyle C^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}。在这个公式中⁡C{\displaystyle\cos{C}}等于您试图找到的角度的余弦。变量c{\displaystyle c}等于缺失角度的对面。变量a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}是另两条边的长度。

Image titled Use the Cosine Rule Step 10

$c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$

$\cos {C}$

3确定a{\displaystyle a}、b{\displaystyle b}和c{\displaystyle c}的值。将这些值插入公式。例如，由于边RT与缺少的角度S相反，因此边RT将等于公式中的c{\displaystyle c}。另外两个边长将是a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}。哪一方是哪一个变量并不重要。你的公式应该是这样的：122=82+102−2（8）（10）cos⁡C{\displaystyle 12^{2}=8^{2}+10^{2}-2（8）（10）\cos{C}。

Image titled Use the Cosine Rule Step 11

$12^{{2}}=8^{{2}}+10^{{2}}-2(8)(10)\cos {C}$

4完成必要的乘法运算。将2ab{\displaystyle 2ab}乘以缺失角度的余弦，这一点您还不知道。因此，变量应该保持不变。例如，122=82+102−160因为⁡C{\displaystyle 12^{2}=8^{2}+10^{2}-160\cos{C}。

Image titled Use the Cosine Rule Step 12

$12^{{2}}=8^{{2}}+10^{{2}}-160\cos {C}$

5找到c{\displaystyle c}的平方。记住，要使一个数字平方，你需要将这个数字本身相乘。例如，144=82+102−160因为⁡C{\displaystyle 144=8^{2}+10^{2}-160\cos{C}

Image titled Use the Cosine Rule Step 13

$144=8^{{2}}+10^{{2}}-160\cos {C}$

6添加a{\displaystyle a}和b{\displaystyle b}的方块。确保先将每个数字平方，然后将它们相加。例如：144=64+100−160因为⁡C{\displaystyle 144=64+100-160\cos{C}144=164−160因为⁡C{\displaystyle 144=164-160\cos{C}

Image titled Use the Cosine Rule Step 14

$144=64+100-160\cos {C}$

$144=164-160\cos {C}$

7分离缺失角度的余弦。为此，从方程两侧减去a2{\displaystyle a^{2}和b2{\displaystyle b^{2}之和。然后，将方程的每一侧除以缺失角的余弦系数。例如，要分离缺失角度的余弦，请从方程两侧减去164，然后将每一侧除以-160:144−164=164−164−160因为⁡C{\displaystyle 144-164=164-164-160\cos{C}−20=−160因为⁡C{\displaystyle-20=-160\cos{C}−20−160=−160因为⁡C−160{\displaystyle{\frac{-20}{-160}={\frac{-160\cos{C}}{-160}}}0.125=cos⁡C{\displaystyle 0.125=\cos{C}

Image titled Use the Cosine Rule Step 15

$a^{{2}}$

$b^{{2}}$

$144-164=164-164-160\cos {C}$

$-20=-160\cos {C}$

${\frac {-20}{-160}}={\frac {-160\cos {C}}{-160}}$

$0.125=\cos {C}$

8求反余弦。这将为您提供缺失角度的测量。在计算器上，反余弦键用COS表示−1{\displaystyle COS^{-1}。例如，.0125的反余弦是82.8192。所以，缺失的角度S是82.8192度。

Image titled Use the Cosine Rule Step 16

$COS^{{-1}}$

方法3方法3/3：解决样本问题

1查找三角形缺少的边长。两条已知的边长分别为20厘米和17厘米。这两边的夹角是68度。因为你知道两条边的长度，以及它们之间的角度，你可以使用余弦规则。设置公式：c2=a2+b2−2abcos⁡C{\displaystyle C^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}。缺少的边长是c{\displaystyle c}。将其他值插入公式：c2=202+172−2（20）（17）cos⁡68{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2（20）（17）\cos{68}。使用操作顺序查找c2{\displaystyle c^{2}}:c2=202+172−2（20）（17）cos⁡68{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2（20）（17）\cos{68}c2=202+172−2（20）（17）（.3746）{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2（20）（17）（.3746）}c2=202+172−254.7325{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-254.7325}c2=400+289−254.7325{\displaystyle c^{2}=400+289-254.7325}c2=689−254.7325{\displaystyle c^{2}=689-254.7325}c2=434.2675{\displaystyle c^{2}=434.2675}取方程两边的平方根。这将给出缺少的边长：c2=434.2675{\displaystyle{\sqrt{c^{2}}}={\sqrt{434.2675}}}c=20.8391{\displaystyle c=20.8391}，所以缺少的边长是20.8391厘米。

Image titled Use the Cosine Rule Step 17

$c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$

$c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-2(20)(17)\cos {68}$

$c^{{2}}$

$c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-2(20)(17)\cos {68}$

$c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-2(20)(17)(.3746)$

$c^{{2}}=20^{{2}}+17^{{2}}-254.7325$

$c^{{2}}=400+289-254.7325$

$c^{{2}}=689-254.7325$

$c^{{2}}=434.2675$

${\sqrt {c^{{2}}}}={\sqrt {434.2675}}$

2在三角形GHI中找到角度H。与H角相邻的两侧分别为22和16厘米长。对边角H为13厘米（5.1英寸）长。因为你知道所有三条边的长度，你可以使用余弦规则。设置公式：c2=a2+b2−2abcos⁡C{\displaystyle C^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}。缺失角度的对面是c{\displaystyle c}。将所有值插入公式：132=222+162−2（22）（16）cos⁡C{\displaystyle 13^{2}=22^{2}+16^{2}-2（22）（16）\cos{C}。使用运算顺序简化表达式：132=222+162−704cos⁡C{\displaystyle 13^{2}=22^{2}+16^{2}-704\cos{C}132=484+256−704cos⁡C{\displaystyle 13^{2}=484+256-704\cos{C}169=484+256−704cos⁡C{\displaystyle 169=484+256-704\cos{C}169=740−704cos⁡C{\displaystyle 169=740-704\cos{C}分离余弦：169−740=740−740−704cos⁡C{\displaystyle 169-740=740-740-704\cos{C}−571=−704cos⁡C{\displaystyle-571=-704\cos{C}−571−704=−704cos⁡C−704{\displaystyle{\frac{-571}{-704}}={\frac{-704\cos{C}}{-704}}}0.8111=cos⁡C{\displaystyle 0.8111=\cos{C}查找反余弦。这将给出缺失的角度：0.8111=cos⁡C{\displaystyle 0.8111=\cos{C}35.7985=cos−1{\displaystyle 35.7985=COS^{-1}。所以，角度H约为35.7985度。

Image titled Use the Cosine Rule Step 18

$c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$

$13^{{2}}=22^{{2}}+16^{{2}}-2(22)(16)\cos {C}$

$13^{{2}}=22^{{2}}+16^{{2}}-704\cos {C}$

$13^{{2}}=484+256-704\cos {C}$

$169=484+256-704\cos {C}$

$169=740-704\cos {C}$

$169-740=740-740-704\cos {C}$

$-571=-704\cos {C}$

${\frac {-571}{-704}}={\frac {-704\cos {C}}{-704}}$

$0.8111=\cos {C}$

$35.7985=COS^{{-1}}$

3找到缺失的轨迹长度。沙丘、山脊和沼泽地形成一个三角形。沙丘小径有3英里长。山脊小径有5英里长。沙丘小径和山脊小径在北端以135度角相交。沼泽小径连接小径的另两端。沼泽小径有多长？这些轨迹形成一个三角形，你需要找到缺失的轨迹长度，就像三角形的边一样。因为你知道另外两条轨迹的长度，并且你知道它们以135度角相交，所以你可以使用余弦规则。设置公式：c2=a2+b2−2abcos⁡C{\displaystyle C^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{C}。缺少的边长（Bog Trail）是c{\displaystyle c}。将其他值插入公式：c2=32+52−2（3）（5）cos⁡135{\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2（3）（5）\cos{135}。使用操作顺序查找c2{\displaystyle c^{2}}:c2=32+52−2（3）（5）cos⁡135{\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2（3）（5）\cos{135}c2=32+52−2(3)(5)(−0.7071）{\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2（3）（5）（-0.7071）}c2=32+52−(−21.2132）{\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-（-21.2132}c2=9+25+21.2132{\displaystyle c^{2}=9+25+21.2132}c2=55.2132{\displaystyle c^{2}=55.2132}取方程两边的平方根。这将给出缺失的边长：c2=55.2132{\displaystyle{\sqrt{c^{2}}}={\sqrt{55.2132}}}c=7.4306{\displaystyle c=7.4306}，所以沼泽小径大约有7.4306英里长。

Image titled Use the Cosine Rule Step 19

$c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}-2ab\cos {C}$

$c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-2(3)(5)\cos {135}$

$c^{{2}}$

$c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-2(3)(5)\cos {135}$

$c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-2(3)(5)(-0.7071)$

$c^{{2}}=3^{{2}}+5^{{2}}-(-21.2132)$

$c^{{2}}=9+25+21.2132$

$c^{{2}}=55.2132$

${\sqrt {c^{{2}}}}={\sqrt {55.2132}}$

正弦规则的应用更简单。检查一下是否可以先使用。

发表于 2022-05-08 01:32
阅读 ( 86 )
分类：教育

你可能感兴趣的文章

如何打入您的网络，第2部分：保护您的vpn（dd wrt）

我们已经向您展示了如何通过路由器上的“端口敲门”远程触发WOL。在本文中，我们将展示如何使用它来保护VPN服务。 Aviad Raviv&amp；bfick提供的图片。前言如果您使用过DD-WRT的VPN内置功能，或者在您的网络中有另一个VPN服...

发布于 2021-04-12 12:47
阅读 ( 224 )

苹果的应用商店政策不好，但其解释和执行情况更糟

...早上，我开始非常生气，准备写一篇时事通讯，讲述谷歌如何利用自己在Gmail这一领域的市场力量，在另一个领域给自己带来潜在的不公平优势：视频会议。这是一个计划，但后来苹果决定利用其在一个领域的市场力...

发布于 2021-04-19 03:15
阅读 ( 160 )

...一个公司集团（ISP）向另一个公司集团（内容公司）收取使用其服务的全部费用。全文如下：    The Federal Communicati*** Commission’s Net Neutrality rule classifies all Internet Service Providers (ISPs) as "public utilities," subjecting them to...

发布于 2021-05-01 11:07
阅读 ( 135 )