什麼是布萊克-斯科爾斯模型(the black-scholes model)？

Black-Scholes模型，也稱為Black-Scholes-Merton（BSM）模型，是期權合約定價的數學模型。特別是，該模型估計了金融工具隨時間的變化。

關鍵要點

• Black-Scholes-Merton（BSM）模型是一個用於求解期權價格的微分方程。
• 布萊克-斯科爾斯模型獲得諾貝爾經濟學獎。
• 標準BSM模型僅用於對歐洲期權進行定價，因為它沒有考慮到美國期權可能在到期日之前行權。

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斯科爾斯期權定價模型

理解black-scholes模型

布萊克-斯科爾斯模型是現代金融理論中最重要的概念之一。它是在1973年開發的菲舍爾布萊克，羅伯特默頓和邁倫斯科爾斯，至今仍廣泛使用。它被認為是確定期權公平價格的最佳方法之一。Black-Scholes模型需要五個輸入變數：期權的執行價、當前股價、到期時間、無風險利率和波動率。

它也被稱為Black-Scholes-Merton（BSM），是第一個被廣泛應用的期權定價模型。它用來計算期權的理論價值，包括當前股價、預期股息、期權的執行價、預期利率、到期時間和預期波動率。

布萊克和斯科爾斯1973年發表在《政治經濟學雜誌》（Journal of Political Economics）上的論文《期權定價和公司負債》（The Pricing of Opti*** and Corporate Resp***ibility）中介紹了初始方程。布萊克去世兩年後，斯科爾斯和默頓因發現一種確定衍生品價值的新方法而獲得1997年諾貝爾經濟學獎(諾貝爾獎不是死後頒發的；然而，諾貝爾委員會承認布萊克在布萊克-斯科爾斯模式中的作用。）

Black-Scholes假設，股票或期貨合約等工具，在隨機遊走之後，價格將呈現對數正態分佈，且具有恆定的漂移和波動性。利用這一假設並考慮其他重要變數，該方程導出了歐式看漲期權的價格。

Black-Scholes方程的輸入是波動率、標的資產價格、期權的執行價格、期權到期時間和無風險利率。有了這些變數，期權賣方在理論上就有可能為他們**的期權設定合理的價格。

此外，該模型預測，大量交易的資產價格遵循幾何布朗運動與常數漂移和波動。當應用於股票期權時，該模型考慮了股票的不變價格變動、貨幣的時間價值、期權的行權價格和期權到期時間。

布萊克-斯科爾斯假設

布萊克-斯科爾斯模型作出了某些假設：

• 期權是歐式的，只能在到期時行使。
• 期權有效期內不支付股息。
• 市場是有效的（也就是說，市場變動無法預測）。
• 購買期權沒有交易成本。
• 標的資產的無風險利率和波動率是已知的並且是恆定的。
• 標的資產的收益是對數正態分佈的。

雖然原始Black-Scholes模型沒有考慮期權有效期內支付股息的影響，但該模型通常透過確定標的股票的除息日價值來考慮股息。許多**期權的做市商也對該模型進行了修改，以考慮到期前可以行使的期權的影響。另外，公司將使用二項式或三項式模型或比傑克松-斯滕斯蘭模型對更常見的美式期權進行定價。

布萊克-斯科爾斯公式

公式中涉及的數學是複雜的，可能令人生畏。幸運的是，在自己的策略中使用Black-Scholes模型不需要知道甚至不需要理解數學。期權交易者可以使用各種線上期權計算器，如今的許多交易平臺都擁有強大的期權分析工具，包括執行計算並輸出期權定價值的指標和電子錶格。

Black-Scholes看漲期權公式的計算方法是將股票價格乘以累積標準正態概率分佈函式。此後，從先前計算的結果值中減去執行價的凈現值（NPV）乘以累積標準正態分佈。

用數學表示法：

C=StN（d1）−克−rtN（d2）where:d1=lnStK+（右）+σ22）噸σs標準d2=d1−σstwhere:C=Call 期權價格=當前股票（或其他基礎）價格k=執行價格r=無風險利率t=到期時間n=正態分佈\begin{aligned}&amp；C=su tn（d\u 1）-ke^{-rt}N（d\u 2）\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；d\u 1=\frac{ln\frac{S{t}{K}+（r+\frac{\sigma^{2}{u v}{2}）\t}{\sigma\u S\\sqrt{t}\\&amp\文字{和}\\&amp；d\u 2=d\u 1-\sigma\u s\\sqrt{t}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；C=\text{買入期權價格}\\&amp；S=\text{當前股票（或其他基礎）價格}\\&amp；K=\text{執行價}\\&amp；r=\text{無風險利率}\\&amp；t=\text{Time to maturity}\\&amp；N=\text{A正態分佈}\\\end{aligned}​C=標準​N（d1）​)−克−rtN（d2）​)where:d1​=σs碼​ t型​英克斯特​​+(r+2級σ第2版​​) t型​和D2​=d1級​−σs碼​ t型​where:C=Call 期權價格=當前股票（或其他基礎）價格k=執行價格r=無風險利率t=到期時間n=正態分佈​

波動率偏差

Black Scholes假設股價遵循對數正態分佈，因為資產價格不能為負（它們以零為界）。這也被稱為高斯分佈。

通常，資產價格被觀察到有明顯的右偏和某種程度的峰度（厚尾）。這意味著，市場上高風險下行的頻率往往比正態分佈預測的要高。

根據Black-Scholes模型，對數正態標的資產價格假設應表明，每個執行價格的隱含波動率相似。然而，自1987年市場崩盤以來，有價期權的隱含波動率一直低於無價期權或遠價期權。造成這一現象的原因是，市場定價中出現高波動性下移的可能性較大。

這導致了波動率偏斜的存在。當具有相同到期日的期權的隱含波動率繪製在圖表上時，可以看到微笑或扭曲的形狀。因此，Black-Scholes模型不能有效地計算隱含波動率。

black-scholes模型的侷限性

如前所述，Black-Scholes模型僅用於對歐式期權進行定價，並未考慮到美國期權可在到期日之前行使。此外，該模型假設股息和無風險利率是恆定的，但現實中可能並非如此。該模型還假設波動率在期權的有效期內保持不變，但事實並非如此，因為波動率隨供求水平而波動。

此外，不存在交易成本或稅收的其他假設；所有到期日的無風險利率保持不變；允許使用收益賣空證券；沒有無風險套利機會會導致價格偏離存在這些因素的現實世界。

常見問題

布萊克-斯科爾斯模型是做什麼的？

Black-Scholes，又稱Black-Scholes-Merton（BSM），是第一個廣泛應用的期權定價模型。基於股票或期貨合約等工具在隨機遊走後的價格服從對數正態分佈且具有常數漂移和波動性的假設，並考慮其他重要變數，該方程導出了歐式看漲期權的價格。它透過從股票價格和累積標準正態概率分佈函式的乘積中減去執行價的凈現值（NPV）乘以累積標準正態分佈來實現。

什麼是black-scholes模型的輸入(the inputs for black-scholes model)？

Black-Scholes方程的輸入是波動率、標的資產價格、期權的執行價格、期權到期時間和無風險利率。有了這些變數，期權賣方在理論上就有可能為他們**的期權設定合理的價格。

布萊克-斯科爾斯模型作了哪些假設？

布萊克-斯科爾斯模型作出了某些假設。其中最主要的是，期權是歐洲的，只能在到期時行使。其他假設是在期權有效期內沒有支付股息；市場是有效率的（即，市場變動無法預測）；購買期權不需要交易費用；無風險利率和標的資產的波動率是已知的和不變的；並且標的資產的收益是對數正態分佈的。

什麼是black-scholes模型的侷限性(the limitati*** of black-scholes model)？

布萊克-斯科爾斯模型僅用於對歐式期權進行定價，並未考慮美國期權在到期日之前可以行權。此外，該模型假設股息和無風險利率是恆定的，但現實中可能並非如此。該模型還假設波動率在期權的有效期內保持不變，但事實並非如此，因為波動率隨供求水平而波動。

此外，不存在交易成本或稅收的其他假設；所有到期日的無風險利率保持不變；允許使用收益賣空證券；沒有無風險套利機會會導致價格偏離存在這些因素的現實世界。