什麼是期權定價模型(the binomial option pricing model)？

二項式期權定價模型是1979年發展起來的一種期權定價方法。二項式期權定價模型採用迭代過程，允許在估值日期和期權到期日期之間的時間跨度內指定節點或時間點。

關鍵要點

• 二項式期權定價模型使用迭代方法對期權進行估值，利用多個週期對美式期權進行估值。
• 在這個模型中，每次迭代都有兩種可能的結果，一種是沿著二叉樹向上移動，一種是向下移動。
• 與著名的Black-Scholes模型相比，該模型更直觀，在實際應用中更為頻繁。

該模型降低了價格變化的可能性，消除了套利的可能性。二項式樹的簡化示例可能如下所示：

二項式期權定價模型基礎

在二項式期權價格模型中，假設有兩種可能的結果，即模型的二項式部分。在定價模型中，兩種結果是上移或下移。二項式期權定價模型的主要優點是數學上很簡單。然而，在多期模型中，這些模型可能變得複雜。

與Black-Scholes模型（該模型提供基於輸入的數值結果）不同，二項式模型允許計算多個期間的資產和期權以及每個期間的可能結果範圍（見下文）。

這種多時段檢視的優點是，使用者可以直觀地看到不同時段資產價格的變化，並根據在不同時間點做出的決策來評估期權。對於可在到期日前任何時間行使的美國期權，二項式模型可提供有關何時可行以及何時應持有更長期限的見解。

透過檢視二項式價值樹，交易者可以提前確定何時可能會對某項交易做出決定。如果期權價值為正值，則有行權的可能，而如果期權價值小於零，則應持有較長時間。

用二項式模型計算價格

計算二項式期權模型的基本方法是，在期權到期之前，在每個週期內使用相同的成功和失敗概率。然而，交易者可以根據隨著時間的推移而獲得的新資訊，為每個時期合併不同的概率。

二叉樹是美式期權和嵌入期權定價的有用工具。它的簡單性同時也是它的優點和缺點。這棵樹很容易機械地建立模型，但問題在於基礎資產在一段時間內可能獲得的價值。在二叉樹模型中，基礎資產只能值兩個可能值中的一個，這是不現實的，因為資產可以值任何給定範圍內的任意數量的值。

例如，標的資產價格在一個時期內上漲或下跌30%的可能性為50/50。然而，在第二階段，標的資產價格上漲的概率可能會增長到70/30。

例如，如果一個投資者正在評估一口油井，該投資者不確定該油井的價值是多少，但價格上漲的可能性為50/50。如果石油價格在第一階段上漲，使油井更有價值，而市場基本面現在表明石油價格繼續上漲，那麼價格進一步升值的概率現在可能是70%。二項式模型允許這種靈活性；布萊克-斯科爾斯模型沒有。

二項式期權定價模型的現例項子

二項式樹的簡化示例只有一個步驟。假設有一隻股票的價格是每股100美元。在一個月內，這隻股票的價格將上漲10美元或下跌10美元，造成這種情況：

• 股價=100美元
• 一個月內的股價（上漲狀態）=110美元
• 一個月內的股價（下跌狀態）=90美元

接下來，假設這隻股票有一個看漲期權，一個月後到期，執行價為100美元。在上漲狀態，這個看漲期權值10美元，在下跌狀態，它值0美元。二項式模型可以計算出今天看漲期權的價格應該是多少。

為簡化起見，假設一個投資者購買了一半的股票，並寫出或賣出了一個看漲期權。今天的總投資是半股的價格減去期權的價格，月底可能的收益是：

• 今日成本=50美元-期權價格
• 投資組合價值（上升狀態）=55美元-最高（$110-$100，0）=45美元
• 投資組合價值（下降狀態）=45美元-最高（$90-$100，0）=45美元

無論股票價格如何變動，投資組合的回報都是相等的。鑒於這一結果，假設沒有套利機會，投資者應該在一個月內賺取無風險利率。今天的成本必須等於一個月內按無風險利率貼現的收益。因此，要求解的方程為：

• 期權價格=$50-$45 x e^（-risk-free rate x T），其中e是數學常數2.7183。

假設無風險利率為每年3%，T等於0.0833（1除以12），那麼今天看漲期權的價格是5.11美元。

與Black-Scholes模型相比，二項式期權定價模型為期權賣方提供了兩個優勢。首先是它的簡單性，這使得商業應用程式中的錯誤更少。二是迭代操作，及時調整價格，減少買家執行套利策略的機會。

例如，由於它在一段時間內為每個節點的衍生品提供了一個估值流，因此它有助於對衍生品（如美國期權）進行估值，這些衍生品可以在購買日和到期日之間的任何時間執行。它也比其他定價模型（如Black-Scholes模型）簡單得多。