決定股票價格

就任何可交易資產的準確定價達成一致具有挑戰性，這就是股價不斷變化的原因。事實上，公司幾乎每天都不會改變估值，但它們的股價和估值幾乎每秒鐘都在變化。就任何可交易資產的正確定價達成共識的困難導致了短期套利機會。

但許多成功的投資歸根結底是一個簡單的問題，即當前的估值——對於預期的未來回報，當前的正確價格是多少？

關鍵要點

• 二項期權定價模型採用迭代方法，利用多週期法對美國期權進行價值評估。
• 在這個模型中，每次迭代都有兩種可能的結果，一種是沿著二叉樹向上移動，一種是向下移動。
• 與著名的Black-Scholes模型相比，該模型更直觀，在實際應用中更為頻繁。

二元期權估值

在競爭市場中，為了避免套利機會，具有相同回報結構的資產必須具有相同的價格。期權的估值一直是一項具有挑戰性的任務，定價的變化會帶來套利機會。Black-Scholes仍然是最流行的期權定價模型之一，但有其侷限性。

二項式期權定價模型是另一種常用的期權定價方法。

示例

假設某一股票有一個當前市價為100美元的看漲期權，ATM期權的執行價為100美元，有效期為一年。有兩位交易員，彼得和保拉，他們都同意股價在一年內要麼漲到110美元，要麼跌到90美元。

他們同意在一年的時間內預期價格水平，但對上下移動的可能性不一致。彼得認為，該股價格升至110美元的概率為60%，而保拉則認為這是40%。

基於此，誰願意為看漲期權付出更多的代價？可能是彼得，因為他預計上升的可能性很大。

二項式期權計算

估值所依賴的兩種資產是看漲期權和標的股票。與會者一致認為，標的股價一年內可以從目前的100美元轉為110美元或90美元，沒有其他價格變動的可能。

在一個無套利的世界裡，如果你必須建立一個由這兩種資產組成的投資組合，即看漲期權和標的股票，這樣無論標的價格是110美元還是90美元，投資組合的凈回報總是保持不變。假設你購買了“d”股的基礎和短期一個看漲期權來建立這個投資組合。

如果價格漲到110美元，你的股票價值110美元，你將損失10美元。你的投資組合凈值將是（110d-10）。

如果價格降到90美元，你的股票將價值90美元，期權將毫無價值地到期。你的投資組合凈值將是（90天）。

如果你想讓你的投資組合的價值保持不變，不管潛在的股價走勢如何，那麼你的投資組合價值在任何一種情況下都應該保持不變：

小時（天）−m=升（d）where:h=Highest 潛在潛在定價=潛在股票數量SM=短期買入損失金額PAYFFL=最低潛在潛在價格\begin{aligned}&amp；h（d）-m=l（d）\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；h=\text{最高潛在基礎價格}\\&amp；d=\text{標的股份數}\\&amp；m=\text{短期贖回賠付損失的金額}\\&amp；l=\text{最低潛在基礎價格}\\\end{對齊}​小時（天）−m=升（d）where:h=Highest 潛在潛在價格=潛在股票數量M=短期贖回賠付損失金額L=最低潛在價格​

因此，如果你購買了一半的股份，假設可以進行部分購買，你將設法建立一個投資組合，使其價值在給定的一年時間框架內，在兩個可能的州保持不變。

110天−10=90dd=12\begin{aligned}&amp；110d-10=90d\\&amp；d=\frac{1}{2}\\\ end{aligned}​110天−10=90dd=21​​

這個投資組合的價值，用（90d）或（110d-10）=45表示，是一年下來的線。為計算其現值，可按無風險收益率（假設為5%）折現。

現值=90d×電子(−5%×1年）=45×0.9523=42.85\開始{對齊}\文字{現值}&amp；=90d\times e^{（-5\%\times 1\text{Year}）}\\&amp；=45\乘以0.9523\\&amp；=42.85\\\結束{對齊}現值​=90天×電子(−5%×1年）=45×0.9523=42.85​

目前，投資組合包括½ 標的股票份額（市價100美元）和一次短期認購，應等於現值。

12×100−1×買入價=$42.85買入價=$7.14，即今天的買入價\begin{aligned}&amp\frac{1}{2}\times 100-1\times\text{Call Price}=\$42.85\\&amp\text{Call Price}=\$7.14\text{，即今天的買入價}\\\end{aligned}​21​×100−1×買入價=$42.85買入價=$7.14，即今天的買入價​

由於這是基於這樣一個假設，即無論基礎價格以何種方式變動，投資組合價值都保持不變，因此上漲或下跌的概率不起任何作用。無論基礎價格變動如何，投資組合都保持無風險。

在這兩種情況下（假設上升到110美元，下降到90美元），你的投資組合是中性的風險和賺取無風險的回報率。

因此，兩位交易員彼得和保拉都願意為這一看漲期權支付相同的7.14美元，儘管他們對上漲概率的看法不同（60%和40%）。他們個人感知的概率在期權估價中並不重要。

相反，假設個體的概率很重要，套利機會可能已經出現了。在現實世界中，這樣的套利機會存在著微小的價差，併在短期內消失。

但在所有這些計算中被大肆炒作的波動性在哪裡呢？波動性是影響期權定價的一個重要而敏感的因素？

波動性已經包含在問題定義的性質中。假設價格水平（110美元和90美元）的兩種狀態（也就是隻有兩種，因此稱為“二項式”）的話，波動性就隱含在這個假設中，並且自動包含（本例中以10%的方式）。

布萊克斯科爾斯

但這種方法是否正確，是否與常用的Black-Scholes定價方法一致？選項計算器結果（由OIC提供）與計算值非常匹配：

不幸的是，現實世界並不像“只有兩個州”那麼簡單。股票在到期前可以達到好幾個價格水平。

有沒有可能將所有這些多個層次都包含在一個僅限於兩個層次的二項式定價模型中？是的，這是很有可能的，但要理解它需要一些簡單的數學。

簡單數學

概括這個問題和解決方案：

“X”是股票的當前市場價格，“X*u”和“X*d”是“t”年後漲跌的未來價格。因子“u”將大於1，因為它表示向上移動，“d”將位於0和1之間。對於上述示例，u=1.1，d=0.9。

看漲期權的收益是“Pup”和“Pdn”，用於到期時的上下波動。

如果你建立一個由今天購買的“s”股和做空一個看漲期權組成的投資組合，那麼在時間“t”之後：

VUM=秒×十×u−Pupwhere:VUM=Value 向上移動時的投資組合\begin{aligned}&amp\text{VUM}=s\times X\times u-P\text{up}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\text{VUM}=\text{上移時投資組合的值}\\\結束{對齊}​VUM=秒×十×u−小狗​where:VUM=Value 投資組合上升時​

VDM=秒×十×d−Pdownwhere:VDM=Value 下移時的投資組合\begin{aligned}&amp\text{VDM}=s\times X\times d-P\text{down}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\text{VDM}=\text{下移時投資組合的值}\\\結束{對齊}​VDM=秒×十×d−Pdown公司​where:VDM=Value 在下跌的情況下投資組合的​

對於任何一種價格變動情況下的類似估值：

s×十×u−小狗=s×十×d−Pdowns\times X\times u-P\uText{up}=s\times X\times d-P\uText{down}s×十×u−小狗​=s×十×d−Pdown公司​

s=小狗−PdownX公司×(u−d） =要購買的股票數量=無風險投資組合\begin{aligned}s&amp；=\frac{P\uText{up}-P\uText{down}}{X\times（u-d）}\\&amp；=\text{購買股份的數量}\\&amp\幻影{=}\text{無風險投資組合}\\\end{aligned}s​=十×(u−d） 小狗​−Pdown公司​​=購買股票的數量=無風險投資組合​

在“t”年末，投資組合的未來價值為：

上移時=s×十×u−Pup=小狗−普多努−d×u−Pup\begin{aligned}\text{上移時}&amp；=s\times X\times u-P\utext{up}\\&amp=\向上移動時的frac{P\uText{up}-P\uText{down}}{u-d}\times u-P\uText{up}\\\ end{aligned}​=s×十×u−小狗​=u−dPup公司​−Pdown公司​​×u−小狗​​

下移時=s×十×d−Pdown=小狗−普多努−d×d−Pdown\begin{aligned}\text{下移時}&amp；=s\times X\times d-P\text{down}\\&amp=\向下移動時的frac{P\uText{up}-P\uText{down}}{u-d}\times d-P\uText{down}\\\ end{aligned}​=s×十×d−Pdown公司​=u−dPup公司​−Pdown公司​​×d−Pdown公司​​

現值可以用無風險收益率折現：

PV=e(−（右）×[小狗−普多努−d×u−小狗]where:PV=Present-Day Valuer=返回率=時間，單位為年\begin{aligned}&amp\text{PV}=e（-rt）\times\left[\frac{P\u\ text{up}-P\text{down}}{u-d}\times u-P\text{up}\right]\\ amp\textbf{其中：}\\&amp\text{PV}=\text{Present Day Value}\\&amp；r=\text{return}\\&amp；t=\text{Time，單位為年}\\\end{aligned}​PV=e(−（右）×[u−dPup公司​−Pdown公司​​×u−小狗​]where:PV=Present-Day Valuer=返回率=時間（以年為單位）​

這應與以X價格持有“s”股的投資組合相匹配，短期買入價值“c”（目前持有的（s*X-c）應等同於此計算）。求解“c”最終得出：

註意：如果看漲期權溢價被做空，它應該是投資組合的加法，而不是減法。

c=e(−rt）u−d×[(電子(−（右）−（d）×蛹+（u−電子(−rt））×Pdown]c=\frac{e（-rt）}{u-d}\times[（e（-rt）-d）\times P\u\ text{up}+（u-e（-rt））\times P\u\ text{down}]c=u−資料元素(−（右）​×[(電子(−（右）−（d）×小狗​+(u−電子(−rt））×Pdown公司​]

另一種寫公式的方法是重新排列：

取“q”為：

q=e(−（右）−杜−dq=\frac{e（-rt）-d}{u-d}q=u−資料元素(−（右）−d​

然後方程變成：

c=e(−（右）×(q×小狗+（1）−問）×Pdown）c=e（-rt）\times（q\times P\uText{up}+（1-q）\times P\uText{down}）c=e(−（右）×(q×小狗​+(1−問）×Pdown公司​)

用“q”重新排列方程提供了一個新的視角。

現在，您可以將“q”解釋為底層向上移動的概率（因為“q”與Pup相關，“1-q”與Pdn相關）。總的來說，這個公式代表了當前的期權價格，即到期收益的折現值。

這個“q”是不同的

這個概率“q”與基礎貨幣的上移或下移的概率有何不同？

VSP=q×十×u+（1）−問）×十×dwhere:VSP=Value 時間t\begin{aligned}&amp；的股價\text{VSP}=q\times X\times u+（1-q）\times X\times d\\&amp\textbf{其中：}\\&amp\text{VSP}=\text{Time的股價值}t\\\end{aligned}​VSP=q×十×u+（1）−問）×十×dwhere:VSP=Value 時間t的股價​

替換“q”的值並重新排列，時間“t”的股價為：

股票價格=e（rt）×X\開始{對齊}&amp\text{Stock Price}=e（rt）\times X\\\end{aligned}​股票價格=e（rt）×十​

在這兩個國家的假設世界中，股價僅僅是以無風險回報率來上漲，就像一種無風險資產，因此它仍然獨立於任何風險。在這種模型下，投資者對風險漠不關心，因此構成了風險中性模型。

概率“q”和“（1-q）”稱為風險中性概率，估值方法稱為風險中性估值模型。

示例場景有一個重要的要求——未來的回報結構需要精確（級別110美元和90美元）。在現實生活中，這樣清晰的階梯式價格水平是不可能的；相反，價格是隨機波動的，可能會在多個層次上結算。

為了進一步擴充套件示例，假設兩步價格水平是可能的。我們知道第二步的最終收益，我們需要在今天對期權進行估值（在第一步）：

反向操作，中間第一步估值（t=1）可以使用第二步（t=2）的最終收益進行，然後使用這些計算出的第一步估值（t=1），可以透過這些計算得出當前估值（t=0）。

為了得到第二位的期權定價，使用了第四位和第五位的收益。為了得到第三個的定價，使用了第五個和第六個的收益。最後，計算出的2和3的收益被用來得到1的定價。

請註意，此示例假定兩個步驟的向上（和向下）移動的繫數相同–u和d以複合方式應用。

一個有效的例子

假設一個執行價為110美元的看跌期權目前的價格為100美元，一年後到期。年無風險率為5%。價格預計每半年上漲20%，下跌15%。

這裡，u=1.2，d=0.85，x=100，t=0.5

利用上述導出的

q=e(−（右）−杜−dq=\frac{e（-rt）-d}{u-d}q=u−資料元素(−（右）−d​

我們得到q=0.35802832

看跌期權在第2點的價值，

p2=e(−（右）×(p×Pupup+（1）−q） 蛹（DN）where:p=Price 看跌期權的\開始{對齊}&amp；p\u 2=e（-rt）\times（p\times p\text{upup}+（1-q）p\text{updn}）\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；p=\text{看跌期權價格}\\\結束{對齊}​第2頁​=電子(−（右）×(p×化蛹​+(1−q） 蛹​)where:p=Price 看跌期權的價值​

在Pupup條件下，基礎將為=100*1.2*1.2=$144，導致Pupup=0

在Pupdn條件下，基礎將是=100*1.2*0.85=$102導致Pupdn=$8

在Pdndn條件下，基礎將=100*0.85*0.85=$72.25導致Pdndn=$37.75

p2=0.975309912*（0.35802832*0+（1-0.35802832）*8）=5.008970741

同樣，p3=0.975309912*（0.35802832*8+（1-0.35802832）*37.75）=26.42958924

p1=e(−（右）×(q×p2+（1）−q） p3）pU1=e（-rt）\times（q\乘以pU2+（1-q）pU3）p1​=電子(−（右）×(q×第2頁​+(1−q） p3頁​)

因此，看跌期權的價值，p1=0.975309912*（0.35802832*5.008970741+（1-0.35802832）*26.42958924）=18.29美元。

類似地，二項式模型允許您打破整個選項持續時間，以進一步細化多個步驟和級別。使用計算機程式或電子錶格，您可以一次向後工作一步，以獲得所需選項的當前值。

另一個例子

假設歐式看跌期權有效期為9個月，執行價為12美元，當前基礎價格為10美元。假設所有期間的無風險利率為5%。假設每三個月，基礎價格可以向上或向下移動20%，得到u=1.2，d=0.8，t=0.25和一個三步二叉樹。

紅色表示基礎價格，藍色表示看跌期權的收益。

風險中性概率“q”計算為0.531446。

使用上述“q”值和t=9個月時的收益值，t=6個月時的相應值計算如下：

此外，使用t=6時的這些計算值，t=3時的值和t=0時的值為：

這使得看跌期權的當前價值為2.18美元，非常接近使用布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes model，2.30美元）計算的結果。

底線

雖然使用計算機程式可以使這些密集的計算變得容易，但對未來價格的預測仍然是二項式期權定價模型的一個主要侷限。時間間隔越細，就越難以高精度地預測每個週期結束時的收益。

然而，靈活地納入不同時期的預期變化是一個優勢，這使得它適合於美式期權定價，包括早期行使估值。

使用二項式模型計算的值與其他常用模型（如Black-Scholes）計算的值非常接近，這表明瞭二項式模型在期權定價中的實用性和準確性。二項式定價模型可以根據交易者的偏好進行開發，可以作為Black-Scholes的替代品。