儘管2008-2009年的金融危機等重大失敗歸因於交易模型的使用存在缺陷，但基於數學或定量模型的交易仍在繼續增長勢頭。

衍生品等複雜的交易工具繼續受到歡迎，估值的基本數學模型也是如此。雖然沒有一個模型是完美的，但意識到它們的侷限性有助於做出明智的交易決策，拒絕異常案例，避免可能導致巨大損失的代價高昂的錯誤。

black-scholes模型的侷限性

Black-Scholes模型是期權定價中最流行的模型之一，但它存在一定的侷限性。Black-Scholes模型的一些標準限制是：

• 假定的值為常量 無風險收益率 和 波動 在選項持續時間內。在現實世界中，這些都不可能保持不變。
• 假設連續無成本交易，忽略流動性風險和經紀費用。
• 假設股價跟隨 對數正態分佈 模式，例如 隨機遊走 (或幾何布朗運動模式），從而忽略了在現實世界中更常見的價格大幅波動。
• 假設沒有 股息 支付忽略了它對估值變化的影響。
• 假設沒有 早期鍛煉 (e、 g.僅適合 歐洲選項）。這使得模型不適合於 美式選擇。
• 其他屬於運營問題的假設包括假設沒有罰款或保證金 賣空要求，否 套利 機會，而且不交稅。實際上，所有這些都不成立。要麼需要額外的資本，要麼現實的利潤潛力下降。

布萊克-斯科爾斯限制的含義

本節介紹上述限制如何影響日常交易，以及是否可以採取任何預防或補救措施。在其他問題中，Black-Scholes模型的最大侷限性在於，雖然它提供了期權的計算價格，但它仍然依賴於潛在的影響因素

• 假定為 已知
• 假定 保持不變 在期權有效期內

不幸的是，以上這些在現實世界中都不是真的。標的股票價格、波動率、無風險利率和股息都是未知的，並且可能會在短期內發生變化，且方差很大。這導致期權價格的大幅波動。它確實為經驗豐富的期權交易者（或運氣好的人）提供了可觀的獲利機會。

但這是以同行為代價的，尤其是新手、投機者或賭客，他們往往不知道這些限制，處於接受端。

避災

它不僅僅是高幅度的變化；這種變化的頻率也可能導致問題。與Black-Scholes模型所預期和暗示的價格變化相比，在現實世界中更經常觀察到價格的大幅變化。

基礎股票價格的這種較高波動性導致期權估值的大幅波動。這往往會導致災難性的結果，尤其是對於賣空期權的賣方來說，他們最終可能會因為缺乏保證金而被迫以巨額虧損平倉，或者在買方行使期權的情況下被分配美式期權。

為了防止出現任何高損失，期權交易者應該時刻關註波動性的變化，併為預先確定的止損水平做好準備。基於模型的估值應輔以現實和預先確定的止損水平。間歇性的補救辦法還包括根據情況和戰略準備平均技術（美元成本和價值）。

現實世界觀

布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）認為，股票價格永遠不會顯示對數正態收益率。現實世界的分佈是傾斜的。這種差異導致Black-Scholes模型實質上低估或高估了期權的價格。

不熟悉這種含義的交易者最終可能會買入定價過高或賣空定價過低的期權，如果他們盲目地遵循布萊克-斯科爾斯模型，那麼他們將面臨虧損。作為一項預防措施，交易者應密切關註波動率變化和市場動態，在波動率處於較低範圍時嘗試買入（例如，在預期期權持有期的過去持續時間內觀察到的情況），在波動率處於較高範圍時賣出，以獲得最大的期權溢價。

應對波動

幾何布朗運動的另一個含義是，在期權期限內，波動率應該保持不變。這也意味著期權的貨幣性不應影響隱含波動性，例如，ITM、ATM和OTM期權應表現出相似的波動***。但實際上，觀察到波動率傾斜曲線（而不是波動率微笑曲線），其中較高的隱含波動率被認為是較低的執行價格。

布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）對ATM期權定價過高，而對deep-ITM和deep-OTM期權定價過低。這就是為什麼大多數交易（因此最高的未平倉利率）都是針對ATM期權，而不是針對ITM和OTM。

賣空者獲得最大的時間衰減值的ATM期權（導致最高的期權溢價），相比之下，ITM和OTM期權，他們試圖利用。

交易員應謹慎，避免購買具有高時間衰減值（部分期權溢價=內在價值+時間衰減值）的OTM和ITM期權。同樣，受過教育的交易者在波動性較大時**ATM期權以獲得更高的溢價，而在波動性較低時，買方應尋找購買期權，從而獲得較低的溢價。

極端事件

簡言之，假設價格變動具有絕對適用性，與其他市場發展或細分市場沒有關係或依賴性。

例如，由於房地產泡沫破裂導致市場整體崩潰而導致的2008-09年市場崩潰的影響不能用布萊克-斯科爾斯模型來解釋（也可能不能用任何數學模型來解釋）。

但它確實導致了股價大幅下跌的低概率極端事件，給期權交易員造成了巨大損失。在那場危機期間，外匯和利率市場的確遵循了預期的價格模式，但卻無法在所有方面免受衝擊。

關於股息

布萊克-斯科爾斯模型沒有考慮到股票股利的變化。假設所有其他因素保持不變，一支股價為100美元、股息為5美元的股票，在除息日將降至95美元。期權賣方利用這種機會在交割日前做空看漲期權/看漲期權，併在交割日平倉，從而獲得利潤。

遵循Black-Scholes定價的交易員應該意識到這一點，並使用諸如二項式定價之類的替代模型來解釋由於股息支付而導致的收益變化。否則，Black-Scholes模型只能用於交易歐洲無股息支付的股票。

布萊克-斯科爾斯模型沒有考慮美式期權的早期行使。實際上，根據市場情況，很少有期權（如多頭看跌期權）有資格進行早期操作。交易者應避免使用布萊克-斯科爾斯美式期權，或考慮二項式定價模型等替代方法。

為什麼布萊克-斯科爾斯受到如此廣泛的關註？

有幾個相當令人信服的理由：

• 它非常適合於非股息支付股票的歐式期權上流行的delta對沖策略。
• 它很簡單，提供了一個現成的值。
• 總的來說 整個市場，或者說大部分市場，都在跟進，價格往往會被校準到布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）計算出來的價格。

底線

盲目地遵循任何數學或定量交易模型會導致不受控制的風險敞口。2008-09年的財務失敗是由於交易模型的錯誤使用造成的。

儘管存在挑戰，但由於市場不斷發展，各種工具和新參與者的加入，模型的使用仍然存在。模型將繼續是交易的主要基礎，特別是對於衍生品等複雜工具。

對模型的侷限性、其影響、可用的替代方案和補救措施有明確見解的謹慎方法可以導致安全和有利可圖的交易。