什么是一个决定因素？(a determinant?)
矩阵是转换图形的数学对象。正方形矩阵A的行列式，表示为|A|，是一个数字，概括了A对一个图形的大小和方向的影响。如果[a b]是A的顶行向量，[c d]是其底行向量，那么|A| = ad-bc。
行列式编码了关于一个矩阵如何转换区域的有用信息。行列式的绝对值表示矩阵的比例系数，即它对一个数字的拉伸或缩小程度。它的符号描述了矩阵是否将数字翻转，产生一个镜像。矩阵还可以使区域倾斜和旋转，但这些信息不是由行列式提供的。
在算术上，矩阵的转换作用是由矩阵乘法决定的。如果A是一个2×2的矩阵，顶行[a b]，底行[c d]，那么[1 0] * A = [a b]，[0 1] * A = [c d]。这意味着A将点（1,0）带到点（a,b），将点（0,1）带到点（c,d）。所有的矩阵都没有移动原点，所以我们可以看到A将端点在(0,0)、(0,1)和(1,0)的三角形转换为另一个端点在(0,0)、(a,b)和(c,d)的三角形。这个新三角形的面积与原三角形的面积之比等于|ad-bc|，即|A|的绝对值。
矩阵行列式的符号描述了该矩阵是否将一个形状翻转过来。考虑到端点在(0,0)、(0,1)和(1,0)的三角形，如果一个矩阵A保持点(0,1)不动，而把点(1,0)带到点(-1,0)，那么它就把三角形翻转到直线x=0上。矩阵不会改变一个区域的大小，所以|A|必须是-1，以符合|A|的绝对值描述A对图形的拉伸程度这一规则。
矩阵运算遵循关联法则，也就是说，(v*A)*B=v*(A*B)。从几何学上讲，这意味着先用矩阵A变换形状，然后用矩阵B变换形状的组合动作相当于用乘积（A*B）变换原始形状。我们可以从这个观察中推断出，|A|*|B|=|A*B|。
当|A|*|B|=|A*B|时，方程有一个重要的后果。在这种情况下，A的作用不能被其他矩阵B所抵消。这可以通过注意到，如果A和B是反相，那么(A*B)既不会拉伸也不会翻转任何区域，所以|A*B|=1来推断。由于|A| * |B| = |A*B|，这最后的观察导致了不可能的方程0 * |B| = 1。
反过来的说法也可以证明：如果A是一个具有非零行列式的正方形矩阵，那么A就有一个反面。在几何学上，这是任何不压扁一个区域的矩阵的作用。例如，将一个正方形压成线段，可以通过其他的矩阵（称为其逆）来消除。这种逆是矩阵的倒数的类似物。
- 发表于 2022-02-10 17:57
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- 分类：科学
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