第1部分第1部分（共3部分）：解决示例立方根问题

1. 1.解决问题。解一个数的立方根看起来就像解一个长除法问题，有一些特殊的区别。第一步是以正确的格式设置问题。写下你想找到其立方根的数字。以小数点为起点，三人一组写出数字。在本例中，您将找到10的立方根。把这个写成10。000 000. 额外的0是为了保证解决方案的精度。在数字上画一个立方根根号。这与长分割条线的用途相同。唯一的区别是符号的形状。将小数点放在条形线上方，直接放在原始数字的小数点上方。
2. 2知道一位数的立方体。你将在计算中使用这些。这些立方体如下：13=1∗1.∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1}23=2∗2.∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8}33=3∗3.∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27}43=4∗4.∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64}53=5∗5.∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125}63=6∗6.∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216}73=7∗7.∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343}83=8∗8.∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512}93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729}103=10∗10∗10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000}
3. 3找到解决方案的第一位数字。选择一个数，当它被立方化时，给出的最大可能结果小于第一组三个数。在这个例子中，第一组三个数字是10。找到小于10的最大完美立方体。这个数字是8，它的立方根是2。把数字2写在根横线的上方，写在数字10的上方。把23{\displaystyle 2^{3}的值写在数字10下面，画一条线并进行减法，就像在长除法中一样。结果是2。减法后，你得到解的第一个数字。你需要确定这一个数字是否足够精确。在大多数情况下，情况并非如此。你可以通过对一位数进行立方运算来检查，并决定这是否足够接近你想要的结果。在这里，因为23{\displaystyle 2^{3}}只有8，与10不太接近，所以应该继续。
4. 4设置以查找下一个数字。将下一组三个数字复制到余数中，并在结果数字的左侧画一条小垂直线。这将是在立方根的解中查找下一个数字的基数。在本例中，这应该是数字2000，它是由之前减法的余数2构成的，由三个0组成的组下拉。在垂直线的左边，你将求解下一个除数，作为三个独立数字的和。在这些数字之间画三条空白下划线，中间用加号。
5. 5找出下一个除数的开头。对于除数的第一部分，写下根号上方的任意数的三百倍平方。在这种情况下，顶部的数字是2，2^2是4，4*300=1200。所以在第一个空格写1200。解的这一步的除数是1200，再加上下一步的数值。
6. 6在你的立方根解中找到下一个数字。通过选择你可以乘以的除数1200，然后从2000的余数中减去，来找到你解的下一个数字。这只能是1，因为2乘以1200等于2400，大于2000。把数字1写在根号上方的下一个空格里。
7. 7确定除数的其余部分。解的这一步的除数由三部分组成。第一部分是你已经拥有的1200。两个除数相加，需要两个除数。现在计算3乘以10乘以根号上方的两位数。对于这个示例问题，这意味着3*10*2*1，也就是60。再加上1200，你已经有1260了。最后，加上最后一个数字的平方。在这个例子中，这是一个1，而1^2仍然是1。因此，总除数为1200+60+1或1261。把这个写在垂直线的左边。
8. 8乘法和减法。将解的最后一位数字（本例中为数字1）乘以刚才计算的除数1261，完成这一轮的求解。1*1261 =1261. 把这个写在2000下，然后减去，得到739。
9. 9.决定是否继续以提高准确性。完成每一步的减法部分后，你需要考虑你的答案是否足够精确。对于10的立方根，在第一次减法之后，你的立方根只有2，这不是很精确。现在，在第二轮之后，解决方案是2.1。你可以用2.1*2.1*2.1的立方来检查这个结果的精度。结果是9.261。如果你认为你的结果足够精确，你可以退出。如果你想要一个更精确的答案，那么你需要进行另一轮。
10. 10找出下一轮的除数。在这种情况下，为了进行更多的练习和更精确的回答，请在下一轮中重复以下步骤：放下下一组三位数。在本例中，这是三个0，它将跟随739余数得到739000。除数以当前根线上方数字的300倍平方开始。这是300∗212{\displaystyle 300*21^{2}}，这是132300。选择解的下一个数字，这样你就可以将它乘以132300，剩下的数字就小于739000。一个好的选择是5，因为5*132300=661500。将数字5写在根线上方的下一个空格中。找到根线上方的前一个数字的3倍，21倍，你刚才写的最后一个数字的5倍，10倍。这是3∗21∗5.∗10=3150{\displaystyle 3*21*5*10=3150}。最后，将最后一个数字平方。这是52=25。{\displaystyle 5^{2}=25.}将除数的各部分相加，得到132300+3150+25=135475。
11. 11将除数乘以你的解数。在你计算了下一轮的除数，并将你的解扩展了一位数后，按如下步骤进行：将除数乘以你解的最后一位数。135475*5=677,375.减739,000-677,375=61,625.考虑2.15的解是否足够精确。把它切成方块，得到2.15∗2.15∗2.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94}。
12. 12写下你的最终答案。根式上方的结果是立方根，此时精确到三位有效数字。在本例中，10的立方根为2.15。通过计算2.15^3=9.94（约为10）来验证。如果你需要更高的准确性，只要你愿意，就可以继续这个过程。

第2部分第2部分（共3部分）：通过重复估计寻找立方根

1. 1使用立方体编号设置上限和下限。如果你需要一个几乎任意数字的立方根，首先选择一个尽可能接近的完美立方体，不要超过你的目标数字。例如，如果你想找到600的立方根，回忆一下（或使用一个数据集编号表）83=512{\displaystyle 8^{3}=512}和93=729{\displaystyle 9^{3}=729}。因此，600的立方根的解必须介于8和9之间。您将使用数字512和729作为解决方案的上限和下限。
2. 2估计下一个数字。第一个数字来自你对某些立方体数的了解。对于下一个数字，根据目标数字位于两个边界数字之间的位置，估计0到9之间的某个数字。在工作示例中，600的目标介于512和729之间。所以，选择5作为下一个数字。
3. 3.对你的估价进行三次方检验。试着乘以你目前的估计值，看看你离目标数字有多近。在本例中，乘以8.5∗8.5∗8.5=614.1.{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.}
4. 4根据需要调整你的估计。在对你的上一次估计进行三次计算后，检查结果与目标数字的比较。如果结果超出目标，您需要将估计值降低一个或多个。如果结果低于目标，您可能需要向上调整，直到超过目标。例如，在这个问题中，8.53{\displaystyle 8.5^{3}大于600的目标。所以你应该把估计值降到8.4。将这个数字和你的目标进行比较。你会发现8.4∗8.4∗8.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7}。这比你的目标低。因此，您知道600的立方根必须至少为8.4，但小于8.5。
5. 5估计下一个数字以获得更高的精度。你将继续这个从0到9的数字估计过程，直到你的答案像你希望的那样精确。对于每一轮评估，首先要注意你的最新计算是如何落在边界数之间的。在这个工作示例中，您的上一轮计算显示8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7}，而8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}。600的目标略接近592，而不是614。选择一个介于0和9之间的数字。对于8.44的立方根估计，一个好的猜测应该是4。
6. 6继续测试你的估计并进行调整。尽可能多地将你的估计值进行立方体化，看看它与你的目标相比如何。你想找到刚好低于目标数字和刚好高于目标数字的数字。对于这个工作示例，首先找到8.44∗8.44∗8.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2}。这仅仅略高于目标值，所以请下拉并测试8.43。这会给你8.43分∗8.43∗{display=43.07.43*style。因此，你知道600的立方根大于8.43，小于8.44。
7. 7根据精度要求，继续操作。只要有必要，继续评估、比较和重新评估的步骤，直到你的解决方案像你希望的那样精确。请注意，随着每一位小数的出现，你的目标数字将越来越接近实际数字。以600的立方根为例，当使用小数点后两位8.43时，距离目标的距离小于1。如果继续到小数点后第三位，您会发现8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93}，与真实答案相差不到0.1。

第3部分第3部分，共3部分：了解此计算的工作原理

1. 1回顾二项式展开式。要理解为什么这个算法能找到立方根，首先需要回忆一下二项式的立方展开式是什么样子的。你可能在高中的代数或代数II中学过这个（如果你和大多数人一样，可能很快就忘了）。选择两个变量A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}来表示一位数。然后创建（10A+B）{\displaystyle（10A+B）}的二项式来表示一个两位数。使用术语10A{\displaystyle 10A}可以创建一个两位数。无论您为{\displaystyle A}选择什么数字，10A{\displaystyle 10A}都会将该数字放入tens列。例如，如果A{\displaystyle A}是2，B{\displaystyle B}是6，那么（10A+B）{\displaystyle（10A+B）}变成26。
2. 2将二项式展开成立方体。我们在这里反向工作，首先创建立方体，然后看看为什么立方根的解决方案有效。我们需要找到（10A+B）3{\displaystyle（10A+B）^{3}的值。你可以通过乘以（10A+B）来实现∗（10A+B）∗（10A+B）{\displaystyle（10A+B）*（10A+B）*（10A+B）}。这太长了，无法在这里显示，但最终结果是1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}。有关展开二项式以获得此结果的更多信息，请参见乘法二项式。要获得更高级、更快捷的版本，请阅读计算（x+y）^n和帕斯卡三角形。
3. 3.识别长除法算法的含义。请注意，计算立方根的方法类似于长除法。在长除法中，你会发现两个因子相乘得到你开始的数字的乘积。在这里的计算中，你要求解的数字（位于根号顶部的数字）是立方根。这意味着它代表（10A+B）项。实际的A和B现在是无关紧要的，只要你能认识到答案的关系。
4. 4查看扩展版。当你看一看展开的多项式，你就会明白为什么立方根算法是有效的。认识到算法每一步的除数是需要计算和相加的四项之和。这些术语如下：第一个术语包含1000的倍数。你首先需要一个可以被立方化的数字，并保持在第一位长除法的范围内。这提供了二项展开式中的1000A^3项。二项展开式的第二项的系数为300。（这实际上来自3∗102{\displaystyle 3*10^{2}。）回想一下，在立方根计算中，每一步的第一个数字乘以300。立方根计算的每一步中的第二位数来自二项式展开式的第三项。在二项式展开式中，可以看到30AB^2项。每一步的最后一位是术语B^3。
5. 5.看到精度的提高。在执行长除法算法时，您完成的每一步都会为您的答案提供更高的精度。例如，本文中的示例问题是求10的立方根。在第一步中，解决方案是2，因为23{\displaystyle 2^{3}}很接近，但小于10。事实上，23=8{\displaystyle 2^{3}=8}。第二轮之后，你得到了2.1的解。当你计算出这个值时，2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261}，这非常接近期望的值10。第三轮结束后，你得到了2.15，这意味着2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}。你可以三位一组地工作，以得到你需要的最精确的答案。

• 和数学中的其他一切一样，熟能生巧。你练习得越多，你的计算就会越好。