如何求解微积分中的相关速率(solve related rates in calculus)
微积分主要是对事物如何变化的数学研究。一种特定的问题类型是确定两个相关项目的比率如何同时变化。解决相关利率问题的关键是识别正在变化的变量，然后确定将这些变量相互连接的公式。一旦这样做了，你可以找到公式的导数，然后你可以计算出你需要的利率。...
第1部分第1部分（共4部分）：解释问题
- 1仔细阅读整个问题。相关的利率问题通常出现所谓的“文字问题”无论你是在做指定的家庭作业，还是在解决工作中的实际问题，你都需要了解被问到的问题。在开始做任何事情之前，请阅读完整的问题。如果你不理解，请备份并再次阅读。此图显示了以下问题：“空气以每分钟5立方厘米的速率被泵入球形气球。确定当气球直径为20厘米时，气球半径增加的速率。”通过阅读这个问题，您应该认识到气球是一个球体，因此您将处理球体的体积。你还应该认识到，你被赋予了直径，所以你应该开始思考如何将其纳入解决方案。绘制问题的图表通常很有用。在这种情况下，假设气球是一个完美的球体，可以用一个圆表示。将半径标记为从中心到圆的距离。
- 2确定要求你解决的问题。任何相关的利率问题都包含两个或多个变化元素，以及对答案有一定影响的任意数量的常数项。你需要阅读问题并确定需要解决的问题。识别问题中哪些信息不会成为答案的一部分也很有帮助。在上面显示的问题中，您应该认识到，具体问题是关于气球半径的变化率。但是，请注意，您将获得有关气球直径的信息，而不是半径的信息。在你解决这个问题时，必须对此进行调整。您应该看到，您还获得了有关进入气球的空气的信息，这会改变气球的体积。
- 3列出函数和变量。理解问题后，你应该写下你知道的信息，以及你不知道的信息。确定每个变量并记下。在这个阶段，你要尽可能明确，这样你就不会在以后把自己弄糊涂。问题中给出的任何速率都应表示为相对于时间的导数。注意，可以使用“素数”符号符号表示导数，如r′{\displaystyle r^{\prime}}，或更明确的drdt{\displaystyle{\frac{dr}{dt}}}。这两者都表示半径对时间的导数。在这个问题中，您应该确定以下项目：dVdt=5cm3/min{\displaystyle{\frac{dV}{dt}}}=5cm ^{3}/min}d=20cm。{\displaystyle d=20cm.}drdt={\displaystyle{\frac{dr}{dt}}}}未知半径变化率，待求解请注意，提供给您的关于气球大小的数据是其直径。然而，提前规划时，您应该记得，球体体积的公式使用半径。因此，您也应该识别该变量：r=10cm。{\displaystyle r=10cm.}（半径为直径的一半。）
第2部分第2部分（共4部分）：设置解决方案
- 1确定与变量相关的函数。解决相关利率问题最棘手也是最重要的一步是确定需要使用什么公式来关联现有数据。在这个问题中，你知道一个球体的直径和半径，你有关于球体体积的信息。因此，您需要的公式应该是球体体积的公式。V=43πr3{\displaystyle V={\frac{4}{3}}\pi r^{3}}
- 2根据时间进行区分。您应该认识到，公式本身是体积相对于半径的表示。然而，对于这个问题，你会得到体积的变化率（泵入的空气），你会被要求得到半径的变化率。变化率由方程的一阶导数给出。dVdt=4πr2drdt{\displaystyle{\frac{dV}{dt}}}=4\pi r ^{2}{\frac{dr}{dt}}}}
- 3替换已知数据。请参阅之前的注释，其中记录了各种函数和变量的值。将该数据插入正在使用的导数函数中。当你这样做的时候，你会发现问题中还有一个变量。这就是你要解决的问题。在这个问题中，你知道体积的变化率和半径。唯一未知的是半径的变化率，这应该是您的解决方案。dVdt=4πr2drdt{\displaystyle{\frac{dV}{dt}}}=4\pi r ^{2}{\frac{dr}{dt}}}}}5=4π∗102drdt{\displaystyle 5=4\pi*10 ^{2}{\frac{dr}{dt}}}}5=400πdrdt{\displaystyle 5=400\pi{\frac{dr}{dt}}}}5400π=drdt{\displaystyle{\frac{5}{400\pi}}}={\frac{dr}{dt}}}}}180π=drdt{\displaystyle风格{\frac{1}{80\pi}}={\frac{dr}{dt}}}
- 4解释你的结果。回顾您的工作，并验证您已按要求回答了问题，并且根据提供的数据，您的结果是合理的。在这种情况下，您的解决方案是针对drdt{\displaystyle{\frac{dr}{dt}}}，这是半径的变化率。这就是问题的目的。然后，您应该用它的单位来表示数值答案，以表示问题的最终答案：drdt=180π{\displaystyle{\frac{dr}{dt}}={\frac{1}{80\pi}}}}厘米/分钟。
第3部分第3部分（共4部分）：解决涉及三角形的示例问题
- 1阅读并理解问题。第一步是仔细阅读问题并解释所问内容。想想下面的问题：一个棒球场的钻石是90平方英尺。跑步者以每秒25英尺的速度从一垒跑到二垒。当他距离一垒30英尺时，他离开本垒板的速度有多快？你可以通过画一个正方形来表示棒球菱形来图解这个问题。将正方形的一角标记为“本垒板”
- 2确定要求你解决的问题。在这种情况下，问题是询问跑步者的速度。速度是距离的变化率，因此你应该认识到，你被要求获得从本垒板到跑步者距离的导数。考虑到这种情况，你应该设想一个代表棒球钻石的直角三角形。三角形的一条腿是从本垒板到第一垒（90英尺）的基本路径。第二段是从第一个基座到流道的基座路径，可以通过长度r{\displaystyler}指定。当此距离为30英尺时，要求您解决问题。这个距离的变化率是跑步者的速度。直角三角形的斜边是从本垒板到跑步者（穿过棒球菱形的中间）的直线长度。将此距离称为d{\displaystyle d}。你没有被告知这个距离，但你可以从毕达哥拉斯定理计算出来。如果两条腿分别为90和30，则斜边d{\displaystyle d}为902+302{\displaystyle{\sqrt{90 ^{2}+30 ^{2}}}}}。因此，d=3010{\displaystyle d=30{\sqrt{10}}}。实际的问题是这个距离的变化率，或者跑步者离开本垒板的速度有多快。这将是导数，dddt{\displaystyle{\frac{dd}{dt}}。
- 3找到与所有术语相关的公式。在这种情况下，棒球菱形可以用直角三角形表示，因此您应该立即想到毕达哥拉斯定理，a2+b2=c2{\displaystyle a ^{2}+b ^{2}=c ^{2}}。您的任务是将a，b，c{\displaystyle a，b，c}转换为问题的术语。第一条腿是{\displaystyle a}，是从家到第一条腿的距离，90英尺。第二条腿，b{\displaystyle b}，是从第一条腿到跑步者的距离。使用变量r{\displaystyler}。当r=30{\displaystyle r=30}时，要求您立即解决问题。斜边c{\displaystyle c}，是从原点到跑步者的距离d{\displaystyle d}。写出新的方程：d2=902+r2{\displaystyle d ^{2}=90 ^{2}+r ^{2}}
- 4求公式的导数。要从距离到变化率（速度），需要公式的导数。取方程两侧对时间（t）的导数。2ddddt=2rdrddt{\displaystyle 2d{\frac{dd}{dt}}}=2r{\frac{dr}{dt}}}}注意，当你进行导数时，常数项902{\displaystyle 90^{2}}从方程中消失。
- 5求解您想要找到的速率。使用导数公式，插入您知道的值，并简化以找到解决方案。2ddddt=2rdrddt{\displaystyle 2d{\frac{dd}{dt}}}=2r{\frac{dr}{dt}}}}}2∗3010dddt=2∗30∗25{\displaystyle 2*30{\sqrt{10}}{\frac{dd}{dt}}=2*30*25}dddt=2∗30∗252∗3010{\displaystyle{\frac{dd}{dt}}={\frac{2*30*25}{2*30{\sqrt{10}}}}dddt=2510{\displaystyle{\frac{dd}{dt}}={\frac{25}{\sqrt{10}}}}}}
- 6解释你的结果。斜边的变化率，或转轮离开本垒板的速度，是每秒2510{\displaystyle{\frac{25}{\sqrt{10}}英尺。把这个转换成一个更容易理解的速度，跑步者在那一刻距离本垒板大约每秒7.9英尺。
第4部分第4部分（共4部分）：解决涉及圆柱体的示例问题
- 1阅读并理解问题。考虑以下问题：水以每分钟8立方英尺的速度流入半径为4英尺的圆柱体。水位上升有多快？通过绘制圆柱体来绘制这种情况。在中间画一条水平线，代表水面高度。
- 2确定要求你解决的问题。你被告知水正在灌入一个圆柱体，这意味着你将以某种方式测量圆柱体的体积。你被问及水的高度变化率。当水充满圆柱体时，水的体积（可以称为V{\displaystyle V}）正在增加。增加速率，dVdt{\displaystyle{\frac{dV}{dt}}}，是水流量，或每分钟8立方英尺。水的高度h{\displaystyle h}未给出。高度的变化率dhdt{\displaystyle{\frac{dh}{dt}}是问题的解决方案。我们还告诉您，圆柱体r{\displaystyle r}的半径为4英尺。
- 3找到一个公式来连接您知道并需要解决的信息。在本例中，您使用的是圆柱体、其体积、高度和半径。与这些项相关的公式是：V=πr2h{\displaystyle V=\pi r ^{2}h}
- 4求公式的导数，以求变化率。使用该方程，取每边对时间t{displaystyle t}的导数，以得到涉及变化率的方程：V=πr2h{\displaystyle V=\pi r^{2}h}dVdt=πr2dhdt{\displaystyle{\frac{dV}{dt}=\pi r^{2}{\frac{dh}{dt}}}
- 5插入已知值以解决问题。你知道体积的变化率和圆柱体的半径。插入这些并简化以找到水位上升的速率：dVdt=πr2dhdt{\displaystyle{\frac{dV}{dt}}=\pi r ^{2}{\frac{dh}{dt}}}8=π（42）dhdt{\displaystyle 8=\pi（4 ^{2}{\frac{dh dt}}}}8=16πdhdt{\displaystyle 8=16\pi{\frac{dh}{dt}}}816π=dhdt{\displaystyle{\frac{8}{16\pi}}={\frac{dh}{dt}}}}12π=dhdt{\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}={\frac{dh}{dt}}}
- 6解释你的结果。当水以每分钟8立方英尺的速度倒入圆柱体时，高度的变化率为每分钟12π{\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}英尺。将其转换为更容易理解的速率，约为每分钟0.16英尺，或几乎每分钟2英寸。
- 仔细检查您的工作，以帮助识别算术错误。
- 记住，如果这个问题给你一个递减率（比如气球的体积在减小），那么随时间变化的速率（比如dV/dt）将是一个负数。
- 当你对方程求导时，确保你对时间隐式求导。
- 发表于 2022-07-18 14:00
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- 分类：教育和通信
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