如何使用拉格朗日乘数(use lagrange multipliers)

在微积分中，拉格朗日乘数通常用于约束优化问题。这类问题在经济学和物理学等其他领域具有广泛的适用性。拉格朗日乘数问题的基本结构如下：L（x，y；λ）=f（x，y）+嗯。然后，我们开始∇L=∇f+λ∇g=0｛\displaystyle\nabla｛\mathcal｛L｝｝＝\nabla f+\lambda\nablag=0｝以求解所得方程组；通常，我们希望在这个过程中抵消λ{\displaystyle...

第1部分第1部分（共2部分）：示例1

1在椭圆3x2+y2=6上找到x3y｛\displaystyle x^｛3｝y｝的最大值。这是一个拉格朗日乘数问题，因为我们希望优化受约束的函数。在优化问题中，我们通常将导数设置为0并从那里开始。但在这种情况下，我们不能这样做，因为x3y｛\displaystyle x ^｛3｝y｝的最大值可能不在椭圆上。显然，f（x，y）=x3y｛displaystyle f（x,y）=x ^｛3｝y｝和g（x，x）=3x2+y2=6。｛displaystyle g（x,y）=3x ^ 2｝+y ^{2｝=6。｝
2取拉格朗日L｛\displaystyle｛\mathcal｛L｝｝的梯度。将其设置为0会得到一个包含三个变量的两个方程组。∇f+λ∇g=0｛\displaystyle\nabla f+\lambda\nablag=0}｛3x2y+λ6x=0x3+λ2y=0｝\displastyle｛\begin｛cases｝3x ^｛2｝y+\lampda 6x&amp=0\\x^{3}+\lambda 2y&amp=0\end｛cases｝｝
3取消λ{\displaystyle\lambda}，并将方程设置为彼此相等。既然我们不关心它，我们需要取消它。这里，我们将第一个方程乘以y｛\displaystyley｝，将第二个方程乘以3x。{displaystyle 3x.}{3x2y2+λ6xy=03x4+λ6 xy=0}=0\\3x^{4}+\lambda 6xy&amp=0\end｛cases｝｝3x2y2−3x4=0x2（y2−x2）＝0｛\displaystyle｛\begin｛aligned｝3x ^｛2｝y ^{2｝-3x｛4｝&amp=0\\x^｛2｝（y^｛2｝-x^｝=0\end{aligned}}}
4将x{\displaystyle x}与y{\displaystyle y}关联起来。在上面的等式中，我们看到当x≠0，y2−x2=0.｛\displaystyle x\neq 0，｛y^｛2｝-x^｛2｝=0。｝这得到了下面的关系。y=x｛\displaystyle y=x｝
5将x｛\displaystyle x｝中y｛\displaystyle y｝的表达式代入约束方程。既然我们已经导出了这个有用的关系，我们最终可以找到x｛\displaystyle x｝和y的值。g=3x2+x2=6x=y=±32｛\displaystyle｛\begin｛aligned｝g&amp=3x^{2}+x^{2}=6\\x&amp=y=\pm{\sqrt{\frac{3}{2}}}\end{aligned}}}
6将x{\displaystyle x}和y{\displaystyle y}的值代入优化方程。我们已经在椭圆3x2+y2=6上找到了函数x3y｛\displaystyle x^｛3｝y｝的最大值。｛\displaystyle 3x^｝｛2｝+y^｛2｝=6。｝

第2部分第2部分（共2部分）：示例2

1查找从x2yz=1到原点的最小距离。将距离回忆为x2+y2+z2.｛\displaystyle｛\sqrt｛x^｛2｝+y^｛这是我们试图优化的函数，约束函数为x2yz−1=0.｛\displaystyle x^｛2｝yz-1=0。｝然而，这是一个有点难处理的表达式。在这种情况下，我们可以删除平方根并优化x2+y2+z2｛\displaystyle x^{2}+y^{3}+z^{4}，因为我们在同一个域中工作（只有正数），所以结果是相同的。我们只需要记住，要优化的函数是具有平方根的表达式。L（x，y，z；λ）=（x2+y2+z2）+λ（x2yz）−1）｛\displaystyle｛\mathcal｛L｝｝（x，y，z；\lambda）＝（x ^｛2｝+y ^｝+z ^{2｝）+\lambd（x｛3｝yz-1）｝
2取拉格朗日梯度，并将每个分量设置为0{∂L∂x=2x+λ2xyz=0∂L∂y=2y+λx2z=0∂L∂z=2z+λx2y=0｛\displaystyle｛\begin｛cases｝｛\frac｛\partial｛\mathcal｛L｝｝}｛\partial x｝｝＝2x+\lambda 2xyz&amp=0\\{frac{\partial{\mathcal{L}}}}{\partical y}}}=2y+\lambda x^{2}z&amp=0\\{frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partical z}}=2z+\lambda x^{2}y&amp=0\end｛cases｝｝
3取消λ{\displaystyle\lambda}。这里，将第一个方程乘以x，｛\displaystyle x，｝将第二个方程乘以2y，｛\displaystyl 2y，｝并将第三个方程乘以2 z。{displaystyle 2z.}{2x2+λ2x2yz=04y2+λ2x2yzz=04z2+λ2x2yz=0}=0\\4y^{2}+\lambda 2x^{3}yz&amp=0\\4z^{2}+\lambda 2x^{3}yz&amp=0\end｛cases｝｝
4通过求解其中一个变量，将变量相互关联。让我们使用y，{\displaystyle y}，尽管x{\displaystyle x}和z{\dislaystyle z}也很好。x2=2y2=2z2｛\displaystyle x^｛2｝=2y^｛。
5通过代入约束函数获得y｛\displaystyle y｝的值。因为我们知道y=z，{\displaystyley=z}，所以我们可以用y{\disPLAystyley}来编写约束函数并求解它。（2y2）（y）（y）=1y=2−1/4｛\displaystyle｛\begin｛aligned｝（2y^｛2｝）（y）（y）&amp=1\\y&amp=2^{-1/4}\end{aligned}}}
6将y的值代入距离。记住，即使我们优化了距离的平方，我们仍然在寻找实际距离。x2+y2+z2=2y2+y2+y2=4y2=2⋅2.−1/4＝23/4｛\displaystyle｛\begin｛aligned｝｛\sqrt｛x ^｛2｝+y ^｝+z ^{2｝｝&amp=｛\sqrt｛2y^｛2｝+y ^｛2｝+y ^ 2｛｝｝={sqrt{4y^{2}}}\&amp=2.cdot 2^{1/4}\&amp=2^{3/4}\end{aligned}}}

提示

发表于 2022-08-26 21:41
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分类：教育和通信

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